Por Gauss: \x+y-z=-12, x-2y-3z=5\

Infinitas soluciones: x=(z-19)/3, y=(-17-2z)/3

Libro de Matemática 2 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Tema 4: Resolución de sistemas 3x3 - Sustitución, Cramer y Gauss

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Respuesta rápida

1a) $(3/2,-1/2,1/2)$ ; 1b) $(-107/16,-129/16,-3/4)$ ; 1c) $(-1,16,11)$ ; 2a) infinitas soluciones parametrizadas; 2b) requiere corrección del enunciado.

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Solución — Página 12

Matematica 2° · Bgu 2 Matematica 2024 · 2024

Ejercicio 1

a: $\{-x_1+x_2=-2,\ 3x_1+3x_3=6,\ 3x_1-x_3=4\}$

De la tercera: $x_3=3x_1-4$ . Sustituyendo en la segunda: $3x_1+3(3x_1-4)=6\Rightarrow 12x_1=18\Rightarrow x_1=3/2$ . Entonces $x_3=9/2-4=1/2$ . De la primera: $x_2=x_1-2=-1/2$ .

Respuesta

$(x_1,x_2,x_3)=(3/2,-1/2,1/2)$ .

Ejercicio 1

b: $\{x+y-z=-14,\ x-3y+2z=16,\ 2x-2y-3z=5\}$

De (1): $x=-14-y+z$ . Sustituyendo en (2): $-14-y+z-3y+2z=16\Rightarrow -4y+3z=30$ (E1). En (3): $2(-14-y+z)-2y-3z=5\Rightarrow -28-4y-z=5\Rightarrow -4y-z=33$ (E2). Restando E2-E1: $-4z=3\Rightarrow z=-3/4$ . De E2: $-4y=33+z=33-3/4=129/4\Rightarrow y=-129/16$ . Y $x=-14+129/16-3/4=-14+129/16-12/16=-14+117/16=(-224+117)/16=-107/16$ .

Respuesta

$(x,y,z)=(-107/16,\ -129/16,\ -3/4)$ .

Ejercicio 1

c: $\{2x+y-z=3,\ 5x-y+2z=1,\ x+2y-3z=-2\}$

Sumando (1)+(2): $7x+z=4$ (E1). De (3): $x+2y-3z=-2$ . De (1): $y=3-2x+z$ . Sustituyendo en (3): $x+2(3-2x+z)-3z=-2\Rightarrow x+6-4x+2z-3z=-2\Rightarrow -3x-z=-8\Rightarrow 3x+z=8$ (E2). Restando E1-E2: $4x=-4\Rightarrow x=-1$ . De E2: $z=8-3(-1)=11$ . Y $y=3-2(-1)+11=16$ .

Verificación: $2(-1)+16-11=3$ ✓; $5(-1)-16+22=1$ ✓; $-1+32-33=-2$ ✓.

Ejercicio 2

a: $\{x+y-z=-12,\ x-2y-3z=5\}$

El sistema tiene 2 ecuaciones y 3 incógnitas (subdeterminado). Restando: $3y+2z=-17\Rightarrow y=(-17-2z)/3$ . Y $x=-12-y+z$ . Parametrizado en $z$ .

Respuesta

infinitas soluciones parametrizadas por $z$ : $y=(-17-2z)/3$ , $x=-12-y+z=(z-19)/3$ .

Ejercicio 2

b

Según la imagen, el sistema es $\{5x-2y+3z=6,\ 7x+3y-4z=?,\ 2x+4y+3z=5\}$ . El OCR no lee el término derecho de la segunda ecuación, por lo que se requiere revisión con el libro original. Con supuesto $7x+3y-4z=0$ : resolvemos por eliminación gaussiana.

Ejemplo con la suposición $=0$ : Aplicando reducción se obtendría un sistema con solución numérica.

Contenido de la página

Tema 4: Sistemas 3x3 - Sustitución, Cramer y Gauss

Pregunta: ¿Para qué empleas un sistema de ecuaciones en la vida diaria?

1. Resuelvo por sustitución

a) $\begin{cases} -x_1+x_2=-2 \\ 3x_1+3x_3=6 \\ 3x_1-x_3=4 \end{cases}$
b) $\begin{cases} x+y-z=-14 \\ x-3y+2z=16 \\ 2x-2y-3z=5 \end{cases}$
c) $\begin{cases} 2x+y-z=3 \\ 5x-y+2z=1 \\ x+2y-3z=-2 \end{cases}$

2. Resuelvo por eliminación gaussiana

a) $\begin{cases} x+y-z=-12 \\ x-2y-3z=5 \end{cases}$
b) $\begin{cases} 5x-2y+3z=6 \\ 7x+3y-4z=\square \\ 2x+4y+3z=5 \end{cases}$

¿Sabías qué? Cramer resuelve sistemas usando determinantes de la matriz de coeficientes. Solo aplica cuando el determinante es distinto de cero.

METACOGNICIÓN

¿Qué he aprendido?
¿Cómo lo he aprendido?
¿Para qué me ha servido?
¿En qué otras ocasiones puedo usarlo?

Fórmulas y ecuaciones

Regla de Cramer: $x_i=\det(A_i)/\det(A)$

$-x_1+x_2=-2$

$3x_1+3x_3=6$

2x+y-z=3

Glosario (2)

Método de Cramer: Método que resuelve sistemas de ecuaciones usando determinantes.
Eliminación gaussiana: Reducción por filas para llevar la matriz a forma escalonada.

Preguntas para practicar

¿Para qué empleas un sistema de ecuaciones en la vida diaria?

¿Qué he aprendido, cómo, para qué, en qué otras ocasiones puedo usarlo?

Temas y conceptos clave

Sistemas 3x3Método de sustituciónMétodo de eliminación gaussianaMétodo de CramerSistema 3x3SustituciónDeterminanteCramerGauss-Jordan

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Preguntas que la gente también hace

¿Para qué empleas un sistema de ecuaciones en la vida diaria?

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¿Cuándo Cramer no aplica?

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📌 Antes de leer esto

• Sistemas 2x2
• Álgebra básica

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Tema 5: Matrices

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Tema 4: Resolución de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas por los metodos de: Sustitución, Cramer y Gauss

Responda la pregunta:

¿Para qué empleas un sistema de ecuaciones en la vida diaria?

Resuelvo los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución:

a) “xX, +X, = -2 3x, + 3X, = 6 3X,- X= 4 Xt y -Z = -14 b) Lx - By +22 = 16 2x -2y -3z =5 2x+y -2 = 3

al Sx -y +22=1

xX + 2y-3z = -2

Resuelvo los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de eliminación gaussiana:

a) x+y-2=-12 Xx -2y -32=53

Il a

SX - 2y + 3z b) 7x + 3y - 4z 2x. + 4y +32 =5

(0) / METACOGNICIÓN )

¿En qué otras ocasiones puedo usarlo? ¿Para qué me ha servido? ¿Cómo lo he aprendido?

¿Qué he aprendido?

¿Sabías qué?

La principal contribución de Cramer es que nos permite resolver sistemas de ecuaciones sin necesidad de realizar operaciones de eliminación o sustitución, como en otros métodos como Gauss-Jordan. En su lugar, utiliza determinantes para encontrar los valores de las variables.

El método de Cramer se basa en la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones y en los determinantes de las matrices obtenidas al reemplazar cada columna de la matriz de coeficientes por la columna de términos independientes. Al calcular estos determinantes, podemos encontrar los valores de las variables del sistema.

Es importante tener en cuenta que el método de Cramer solo es aplicable a sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones y variables. Además, si el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero, el sistema puede no tener solución o tener infinitas soluciones.

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