Tema 1: Factoreo y simplificación de expresiones algebraicas

Diferencia entre Aritmética y Álgebra

La Aritmética opera con números específicos y sus operaciones (suma, resta, multiplicación, división). El Álgebra generaliza la Aritmética usando variables (letras) que representan cantidades desconocidas o generales, permitiendo plantear ecuaciones y modelar relaciones.

Usamos a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}).

x^9-1=(x-1)(x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)

Además x^9-1=(x^3-1)(x^6+x^3+1)=(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1).

Sea u=x^2. Entonces u^2-13u+36=(u-4)(u-9)=(x^2-4)(x^2-9)=(x-2)(x+2)(x-3)(x+3).

Agrupamos: (a+b)^2+3(a+b)-28. Sea s=a+b: s^2+3s-28=(s+7)(s-4).

=(a+b+7)(a+b-4)

Buscamos factorización (2x+ay+bz)(3x+cy+dz) con ac=20, bd=6, 2c+3a=23, 2d+3b=13, ad+bc=22.

Probando a=4,c=5: 2(5)+3(4)=22, no. Probando a=5,c=4: 2(4)+3(5)=23 ✓. Probando b=2,d=3: 2(3)+3(2)=12, no. Probando b=3,d=2: 2(2)+3(3)=13 ✓ y ad+bc=5\cdot2+3\cdot4=22 ✓.

=(2x+5y+3z)(3x+4y+2z)

E=\frac{7\cdot2^{n-3}+11\cdot2^{n-1}-2^{n-3}}{6\cdot2^{n-3}+2^{n-3}}\cdot\left(\frac{5^2}{14}\right)^{-1}

Factorizamos 2^{n-3}: 11\cdot2^{n-1}=44\cdot2^{n-3}. Numerador =(7+44-1)\cdot2^{n-3}=50\cdot2^{n-3}. Denominador =(6+1)\cdot2^{n-3}=7\cdot2^{n-3}.

E=\frac{50}{7}\cdot\frac{14}{25}=\frac{50\cdot14}{7\cdot25}=\frac{700}{175}=4

E=\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}-\left(-\frac{1}{4}\right)^{-1}\cdot2-6\cdot\frac{8}{3}-(-1)^{-2}

• \left(\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\right)^2=\left(\frac{3}{6}\right)^2=\frac{1}{4}
• \left(\frac{3}{2}\right)^{-2}=\frac{4}{9}
• \left(-\frac{1}{4}\right)^{-1}\cdot2=(-4)(2)=-8
• 6\cdot\frac{8}{3}=16
• (-1)^{-2}=1

E=\frac{1}{4}-\frac{4}{9}-(-8)-16-1=\frac{1}{4}-\frac{4}{9}+8-16-1=\frac{9-16}{36}-9=-\frac{7}{36}-9=-\frac{331}{36}

E=x^{\frac{2}{3}}\left(\frac{x^{2/3}}{x^{1/4}}\right)^{1/3}=x^{2/3}\cdot x^{\frac{1}{3}(2/3-1/4)}=x^{2/3}\cdot x^{\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{12}}=x^{2/3+5/36}=x^{29/36}

\frac{2(x+1)}{3}+\frac{3(x+2)}{2}=2(x+2)

Multiplicando por 6: 4(x+1)+9(x+2)=12(x+2). 4x+4+9x+18=12x+24. 13x+22=12x+24 \Rightarrow x=2.

\frac{1}{x^2+3x-28}-\frac{1}{x^2+12x+35}=\frac{3}{x^2+x-20}

Factorizamos: x^2+3x-28=(x+7)(x-4), x^2+12x+35=(x+7)(x+5), x^2+x-20=(x+5)(x-4).

\frac{1}{(x+7)(x-4)}-\frac{1}{(x+7)(x+5)}=\frac{3}{(x+5)(x-4)}

MCD: (x+7)(x+5)(x-4). Multiplicando: (x+5)-(x-4)=3(x+7). 9=3x+21\Rightarrow 3x=-12\Rightarrow x=-4.

x-\sqrt{x^2-21}=7 \Rightarrow \sqrt{x^2-21}=x-7

Elevando al cuadrado: x^2-21=x^2-14x+49 \Rightarrow -21=-14x+49\Rightarrow 14x=70\Rightarrow x=5.

Verificamos: 5-\sqrt{25-21}=5-2=3\neq 7. Rechazado. La ecuación no tiene solución real que satisfaga la condición x\geq 7.