(partes d, e y f)
Enunciado (continuación del ejercicio iniciado en la página 108):
- d) La frecuencia de oscilación.
- e) El periodo.
- f) La energía en la que estaba el pico más alto del voltaje.
Nota de integridad: la imagen de esta página contiene únicamente los tres enunciados y tres cuadrículas vacías; los datos numéricos del circuito (inductancia L, capacitancia C, resistencia R y condición inicial de carga) y la curva de voltaje corresponden a la página anterior (pág. 108). Por eso se entrega el método completo, paso a paso, con las fórmulas que hay que usar una vez tomados esos valores.
— Frecuencia de oscilación
- En un circuito LC ideal la frecuencia angular de oscilación es
\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}
- Como \omega=2\pi f, se despeja la frecuencia:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
- Sustitución con los datos del circuito: si, por ejemplo, L=10\,\text{mH}=10\times10^{-3}\,\text{H} y C=4\,\mu\text{F}=4\times10^{-6}\,\text{F}, entonces
\sqrt{LC}=\sqrt{(10\times10^{-3})(4\times10^{-6})}=\sqrt{4\times10^{-8}}=2\times10^{-4}\,\text{s}
f=\frac{1}{2\pi(2\times10^{-4})}=\frac{1}{1.257\times10^{-3}}\approx 796\,\text{Hz}
(Los valores anteriores son solo ilustrativos; en el libro se deben usar los L, C y R de la página 108. Si hay resistencia, la frecuencia oscilatoria es \omega'=\sqrt{\dfrac{1}{LC}-\dfrac{R^{2}}{4L^{2}}} y f=\dfrac{\omega'}{2\pi}.)
\boxed{f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\ \text{Hz}}
— El periodo
- El periodo es el tiempo de una oscilación completa, es decir el recíproco de la frecuencia:
T=\frac{1}{f}
- Sustitución de la frecuencia obtenida en d):
T=\frac{1}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}}=2\pi\sqrt{LC}
- Verificación con el ejemplo ilustrativo:
T=2\pi(2\times10^{-4})=1.257\times10^{-3}\,\text{s}\approx 1.26\,\text{ms}
- Comprobación gráfica: en la cuadrícula de e) se traza V(t) y se mide el intervalo entre dos picos consecutivos (o entre dos cruce de V=0 con la misma pendiente); ese intervalo es T.
\boxed{T=2\pi\sqrt{LC}\ \text{s}}
— Energía en el pico más alto del voltaje
- La energía almacenada en el condensador de un circuito LC es
E=\frac{1}{2}CV^{2}
- Para el pico de voltaje se usa la amplitud máxima V_{\text{máx}} (el punto más alto de la curva de la página 108):
E_{\text{pico}}=\frac{1}{2}C\,V_{\text{máx}}^{2}
- Sustitución con valores ilustrativos, C=4\times10^{-6}\,\text{F} y V_{\text{máx}}=5\,\text{V}:
E_{\text{pico}}=\frac{1}{2}(4\times10^{-6})(5)^{2}=2\times10^{-6}\times25=5\times10^{-5}\,\text{J}
En el pico de voltaje la energía está totalmente en el condensador (Q=CV_{\text{máx}}, campo eléctrico máximo); en la inductancia, en ese instante, I=0, por lo que E_L=\frac{1}{2}LI^{2}=0. La energía total de la oscilación es E_{\text{total}}=\frac{1}{2}CV_{\text{máx}}^{2}=\frac{1}{2}LI_{\text{máx}}^{2}.
Si el circuito tiene resistencia, parte de la energía se disipa como calor por efecto Joule (P=RI^{2}) y la amplitud del voltaje va disminuyendo con el tiempo.
Uso de las cuadrículas de la página
- Cuadrícula de d): representar V(t) vs t y marcar un ciclo completo para observar cuántas oscilaciones caben en un intervalo de tiempo; la frecuencia es el número de ciclos por unidad de tiempo.
- Cuadrícula de e): medir con regla el espacio entre dos picos consecutivos y convertirlo a tiempo con la escala del eje t; ese valor es T.
- Cuadrícula de f): ubicar el punto de mayor ordenada (pico más alto) y calcular su energía con E=\frac{1}{2}CV^{2}.
\boxed{E_{\text{pico}}=\frac{1}{2}C\,V_{\text{máx}}^{2}\ \text{J}}
