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Péndulo del reloj: velocidad máxima, energía cinética y regulación

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Respuesta rápida

e) $v_{\max}=A\sqrt{gL}$ (máxima en el equilibrio). f) $E_c=0$ en la abertura total (energía toda potencial). g) Acortar el péndulo subiendo la lenteja, para reducir $T$ y que deje de atrasar.

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Solución — Página 107

Fisica 3° · 2024

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Ejercicio 106

e

¿Cuál es la velocidad máxima de la lenteja del péndulo?

El péndulo simple realiza un movimiento armónico. Sea $L$ la longitud del péndulo y $A$ la amplitud angular de oscilación, la posición angular es $\theta(t)=A\cos(\omega t)$ , con

$\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}$

$v_{\max}=A\,L\,\omega=A\,L\sqrt{\frac{g}{L}}=A\sqrt{g\,L}$

Para amplitudes pequeñas $A$ en radianes ( $A\approx \ell_{\max}/L$ , con $\ell_{\max}$ la máxima separación respecto al eje vertical). Ejemplo numérico: si $L=1\,\text{m}$ y el péndulo se desplaza $\ell_{\max}=0{,}03\,\text{m}$ , entonces $A=\frac{0{,}03}{1}=0{,}03\,\text{rad}$ y

$v_{\max}=0{,}03\sqrt{9{,}8\times 1}=0{,}03\times 3{,}13\approx 0{,}094\,\text{m/s}$

Respuesta

$v_{\max}=A\sqrt{g\,L}$ (velocidad máxima en la posición de equilibrio, donde toda la energía potencial se ha transformado en energía cinética).

106

Ejercicio 106

f

La energía cinética de la lenteja en su abertura total.

La "abertura total" es la máxima amplitud de oscilación. En el punto de máxima amplitud la lenteja alcanza su altura máxima y se detiene instantáneamente ( $v=0$ ), porque la velocidad se anula antes de invertir el sentido del movimiento.

$E_c=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m(0)^2=0$

En ese instante la energía es íntegramente potencial (máxima altura $h_{\max}=L(1-\cos A)\approx LA^2/2$ para amplitudes pequeñas):

$E_p=m g h_{\max}=m g \frac{L A^{2}}{2}$

Por conservación de la energía mecánica, la energía cinética máxima (en el equilibrio) vale $\frac{1}{2}m v_{\max}^{2}=\frac{1}{2}m(AL\omega)^2=\frac{1}{2}m g L A^{2}$ .

Respuesta

$E_c=0$ en la abertura total; toda la energía es potencial en ese instante.

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Ejercicio 106

g

Si el reloj se encuentra atrasado, ¿qué se debería hacer con el brazo o la cuerda del péndulo?

El período del péndulo simple depende de su longitud:

$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

Un reloj que marca atrasado significa que cada tic-tac es más largo de lo que debería: el período $T$ calculado es mayor que el período correcto $T_0$ . Como $T\propto\sqrt{L}$ , eso ocurre porque la longitud $L$ del péndulo es demasiado larga.

Como $T$ es mayor que el ideal, se debe acortar el péndulo.
Se logra subiendo la lenteja (pesa del péndulo) mediante la tuerca reguladora del brazo, de modo que la distancia de la lenteja al pivote disminuya.
Al acortar $L$ , el período $T$ disminuye y el reloj deja de atrasar.

Respuesta

Se debe acortar el brazo o la cuerda del péndulo, subiendo la lenteja (su masa), para que disminuya $L$ y, por ende, el período $T=2\pi\sqrt{L/g}$ , de modo que el reloj deje de atrasar.

Contenido de la página

Continuación del ejercicio: el péndulo de un reloj

e) ¿Cuál es la velocidad máxima de la lenteja?

El péndulo realiza un M.A.S. angular: $\theta(t)=A\cos(\omega t)$ con $\omega=\sqrt{g/L}$ . La velocidad tangencial es $v=L|\theta'|=AL\omega|\sin(\omega t)|$ , que alcanza su máximo en el punto de equilibrio: $v_{\max}=A\sqrt{gL}$ .

f) La energía cinética en su abertura total.

En la amplitud máxima la lenteja se detiene ( $v=0$ ), por lo que $E_c=\frac{1}{2}mv^2=0$ . Toda la energía es potencial en ese instante.

g) Si el reloj se encuentra atrasado, ¿qué se debería hacer con el brazo o la cuerda del péndulo?

Como $T=2\pi\sqrt{L/g}$ , si el reloj atrasa es porque $T$ es mayor que el valor correcto, es decir, la longitud $L$ es excesiva. Se debe acortar el péndulo subiendo la lenteja mediante la tuerca reguladora.

Ejemplos resueltos

Un péndulo de $L=0{,}9\,\text{m}$ oscila con una amplitud máxima de $2\,\text{cm}$ . Calcular su velocidad máxima.

$A=\dfrac{\ell_{\max}}{L}=\dfrac{0{,}02}{0{,}9}=0{,}0222\,\text{rad}$ . Entonces $v_{\max}=A\sqrt{gL}=0{,}0222\times\sqrt{9{,}8\times0{,}9}=0{,}0222\times2{,}97\approx 0{,}066\,\text{m/s}$ .

Un reloj de péndulo tiene una longitud de $1{,}0\,\text{m}$ y marca atrasado. ¿Cómo se regula?

$T=2\pi\sqrt{L/g}=2\pi\sqrt{1/9{,}8}=2{,}0\,\text{s}$ . Al atrasar, $T$ es mayor que el valor correcto, así que se debe acortar el péndulo: subir la lenteja reduciendo $L$ .

Tabla

Magnitud	Amplitud máxima (abertura total)	Posición de equilibrio
Velocidad	$v=0$	$v=v_{\max}=A\sqrt{gL}$
Energía cinética	$E_c=0$	$E_c=\frac{1}{2}mgLA^{2}$
Energía potencial	$E_p=mgh_{\max}$ máxima	$E_p=0$

Fórmulas y ecuaciones

$v_{\max}=A$ $\sqrt{gL}$

$E_{c}=@@MATH_0@@mv^{2}$

$T=2\pi$ $\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

$\theta(t)=A\cos(\omega$ t)

$\omega=$ $\sqrt{\frac{g}{L}}$

v(t)=A $\sqrt{gL}$ $\,|\sin(\omega$ t)|

$v_{\max}=A$ $\sqrt{gL}$

$E_c=@@MATH_0@@mv^{2}$

$T=2\pi$ $\sqrt{\frac{L}{g}}$

$h_{\max}=L(1-\cos$ $A)\approx$ $\frac{1}{2}$ $LA^{2}$

Glosario (5)

Péndulo simple: Sistema formado por una masa puntual suspendida de un hilo inextensible y de masa despreciable que oscila en un plano vertical.
Lenteja: Masa (pesa) del péndulo que oscila en la parte inferior del brazo o cuerda del reloj.
Abertura total: Amplitud máxima de oscilación del péndulo, donde la velocidad de la lenteja se anula.
M.A.S.: Movimiento armónico simple: oscilación cuyo desplazamiento obedece una función senoidal o cosenoidal del tiempo.
Periodo (T): Tiempo que tarda el péndulo en completar una oscilación completa.

Preguntas para practicar

¿Por qué la velocidad máxima del péndulo ocurre justo en el punto de equilibrio?

Porque en la amplitud máxima la lenteja se detiene ($v=0$) y toda su energía es potencial; al descender, esa energía se transforma íntegramente en energía cinética al pasar por el punto más bajo del arco.

¿Qué le ocurre al período del péndulo si se le añade masa a la lenteja sin cambiar su longitud?

Nada: el período $T=2\pi\sqrt{L/g}$ no depende de la masa, así que el reloj mantiene su ritmo aunque se haga más pesado el péndulo.

Temas y conceptos clave

Péndulo simpleMovimiento armónico simpleVelocidad máxima en el M.A.S.Energía cinética y potencial en oscilacionesRegulación de relojes de pénduloamplitud angular $A$frecuencia angular $\omega$velocidad máxima en la posición de equilibrioenergía cinética nula en la amplitud máximaperiodo $T=2\pi\sqrt{L/g}$ajuste de longitud del péndulo

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