Péndulo simple: efecto de la longitud en el período y la velocidad de la lenteja

El período de un péndulo simple depende de la longitud L de la cuerda o brazo según

T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

1. Si la longitud disminuye a la mitad, entonces L' = \dfrac{L}{2}.
2. Sustituimos en la fórmula:

T' = 2\pi\sqrt{\frac{L'}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{L/2}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{2g}}

3. Extraemos el factor \dfrac{1}{2} de la raíz:

T' = \frac{1}{\sqrt{2}}\,2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = \frac{T}{\sqrt{2}}

4. Como \sqrt{2} \approx 1{,}414:

T' \approx 0{,}707\,T

Ahora la longitud aumenta al doble, es decir, L'' = 2L.

1. Sustituimos en la expresión del período:

T'' = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{g}}

2. Sacamos el factor 2 de la raíz:

T'' = \sqrt{2}\,2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = \sqrt{2}\,T

3. Con \sqrt{2} \approx 1{,}414:

T'' \approx 1{,}414\,T

Se pide la velocidad de la lenteja (péndulo) cuando la apertura (amplitud) es de 5^\circ.

1. La lenteja describe un arco de amplitud angular \theta_0 = 5^\circ. La desplazamiento lineal máximo respecto a la vertical es

A = L\sin\theta_0 \approx L\,\theta_0 \quad (\theta_0 \text{ en radianes})

2. Convertimos la amplitud a radianes:

\theta_0 = 5^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{36} \approx 0{,}0873\ \text{rad}

3. La velocidad máxima del péndulo se alcanza en el punto inferior (equilibrio) y se calcula como

v_{\max} = \omega\,A = \frac{2\pi}{T}\,L\,\theta_0

4. Usamos T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}, de modo que \omega = \dfrac{2\pi}{T} = \sqrt{\dfrac{g}{L}}:

v_{\max} = \sqrt{\frac{g}{L}}\;L\,\theta_0 = \theta_0\sqrt{g\,L}

5. Ejemplo numérico con L = 1{,}00\ \text{m} y g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}:

T = 2\pi\sqrt{\frac{1{,}00}{9{,}8}} \approx 2{,}01\ \text{s}

v_{\max} = \frac{2\pi}{2{,}01}\times 1{,}00\times 0{,}0873 \approx 0{,}27\ \text{m/s}