Tres cargas +q y tres cargas -q alternadas en los vértices de un hexágono de lado L; en el centro hay una carga +2q. **a)** Diagrama con cargas y vectores de atracción/repulsión. **b)** Magnitud de la fuerza resultante sobre el centro. **c)** ¿Qué ocurre si el centro lleva -2q?

Libro de Física 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Cargas alternadas en un hexágono: fuerza resultante sobre el centro

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a) Hexágono con +q y −q alternados y +2q al centro; los vectores de cada par de vértices opuestos son colineales y del mismo sentido. b) $\vec{F}_{res}=0$ . c) Al usar $-2q$ cada vector se invierte de dirección, pero la resultante sigue siendo $\vec{F}_{res}=0$ .

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Solución — Página 126

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 1

Un hexágono regular de lado $L$ tiene tres cargas $+q$ y tres cargas $-q$ alternadas en sus vértices; en el centro hay una carga equivalente $+2q$ .

Parte 1.a

Gráfica con las cargas y sus vectores de atracción y repulsión

En un hexágono regular la distancia de cada vértice al centro es igual al lado:

$r = L$

Los seis vértices son equiespaciados cada $60^\circ$ alrededor del centro. Numéremoslos en sentido antihorario: $V_1=+q$ , $V_2=-q$ , $V_3=+q$ , $V_4=-q$ , $V_5=+q$ , $V_6=-q$ .

Cada carga $+q$ es opuesta a una carga $-q$ (par $V_1$ – $V_4$ , $V_3$ – $V_6$ , $V_5$ – $V_2$ ). Sobre la carga central $+2q$ :

Fuerza debida a cada $+q$ : repulsión, el vector apunta desde el vértice hacia el centro y sigue recto hasta el vértice opuesto $-q$ .
Fuerza debida a cada $-q$ : atracción, el vector apunta desde el centro hacia ese vértice $-q$ .

En cada par de vértices opuestos los dos vectores resultan colineales y del mismo sentido (ambos apuntan hacia el vértice $-q$ ). Como los tres pares están a $120^\circ$ entre sí, los vectores se cancelan entre sí. Se dibuja el hexágono con $+$ y $-\;{}$ alternados, $+2q$ en el centro, seis flechas iguales en módulo y tres flechas largas resultantes de $4k_e\frac{q^2}{L^2}$ cada una, separadas $120^\circ$ .

Parte 1.b

Magnitud de la fuerza resultante sobre el centro

La ley de Coulomb para cada vértice (módulo igual para todos, ya que $|Q_{centro} q| = 2q^2$ y $r = L$ ):

$F_i = k_e \frac{|Q_{centro}\, q_i|}{r^2} = k_e \frac{2q^2}{L^2}$

Tomemos el eje $x$ a lo largo del par $V_1$ – $V_4$ . Las fuerzas de la derecha y la izquierda se cancelan y, por simetría de orden tres ( $120^\circ$ ), también las de los otros dos pares:

$\sum F_x = F_{V_1\to} + F_{V_4\to} + F_{V_3}\cos 60^\circ + F_{V_6}\cos 60^\circ + F_{V_5}\cos 120^\circ + F_{V_2}\cos 120^\circ = 0$

$\sum F_y = F_{V_3}\sin 60^\circ + F_{V_6}\sin 60^\circ + F_{V_5}\sin 120^\circ + F_{V_2}\sin 120^\circ = 0$

Verificación numérica con todos los vectores unidos al origen ( $0^\circ$ , $60^\circ$ , $120^\circ$ , $180^\circ$ , $240^\circ$ , $300^\circ$ ):

$\sum F_x = F\left(\cos 0^\circ + \cos 60^\circ + \cos 120^\circ + \cos 180^\circ + \cos 240^\circ + \cos 300^\circ\right) = F\left(1 + 0.5 - 0.5 - 1 - 0.5 + 0.5\right) = 0$

$\sum F_y = F\left(\sin 0^\circ + \sin 60^\circ + \sin 120^\circ + \sin 180^\circ + \sin 240^\circ + \sin 300^\circ\right) = F\left(0 + 0.866 + 0.866 + 0 - 0.866 - 0.866\right) = 0$

Respuesta

$\vec{F}_{res} = 0$ ; la carga central permanece en equilibrio.

Parte 1.c

¿Qué sucede si el centro es una carga negativa $-2q$?

Cada par sigue aportando $2F = 4k_e\frac{q^2}{L^2}$ , pero ahora los sentidos se invierten individualmente:

Fuerza debida a cada $+q$ : atracción hacia ese vértice $+q$ (antes era repulsión).
Fuerza debida a cada $-q$ : repulsión lejos de ese vértice $-q$ , lo que la lleva hacia el vértice $+q$ opuesto (antes era atracción).

En cada par los dos vectores siguen siendo colineales y del mismo sentido, ahora hacia el vértice $+q$ , con los mismos módulos $F_i = k_e\frac{2q^2}{L^2}$ y la misma separación de $120^\circ$ entre pares. Por lo tanto la suma vectorial vuelve a ser nula: $\vec{F}_{res} = 0$ . Lo único que cambia es la dirección de cada vector individual, no la fuerza resultante.

Respuesta

la carga central sigue en equilibrio; la resultante es igual a cero.

Contenido de la página

ACTIVIDADES

1. Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

La fuerza electrostática permite estimar magnitudes de fuerza previas al movimiento de los electrones. Se colocan tres cargas puntuales positivas ( $+q$ ) y tres cargas puntuales negativas ( $-q$ ) de manera alternada sobre los vértices de un hexágono de lado " $L$ ". En el centro del hexágono se coloca una carga positiva equivalente ( $+2q$ ):

a) Determino la gráfica con las cargas respectivas y sus vectores de atracción y repulsión.
b) Determino la magnitud de la fuerza resultante sobre el centro.
c) Respondo: ¿qué sucede si se altera la carga del centro positiva por una negativa ( $-2q$ )?

(La página incluye una cuadrícula para dibujar el diagrama.)

Tabla

Vértice	Carga	Acción sobre el centro $+2q$	Dirección del vector	Módulo
$V_1$	$+q$	Repulsión	Hacia $V_4$ (vértice opuesto $-q$ )	$k_e\frac{2q^2}{L^2}$
$V_2$	$-q$	Atracción	Hacia $V_2$	$k_e\frac{2q^2}{L^2}$
$V_3$	$+q$	Repulsión	Hacia $V_6$	$k_e\frac{2q^2}{L^2}$
$V_4$	$-q$	Atracción	Hacia $V_4$	$k_e\frac{2q^2}{L^2}$
$V_5$	$+q$	Repulsión	Hacia $V_2$	$k_e\frac{2q^2}{L^2}$
$V_6$	$-q$	Atracción	Hacia $V_6$	$k_e\frac{2q^2}{L^2}$
Suma	—	—	—	$\vec{F}_{res}=0$

Diagrama

flowchart LR
  V1["V1: +q"] --- C{"+2q centro"}
  V2["V2: -q"] --- C
  V3["V3: +q"] --- C
  V4["V4: -q"] --- C
  V5["V5: +q"] --- C
  V6["V6: -q"] --- C
  C -->|"Fres = 0"| Z["equilibrio"]

Fórmulas y ecuaciones

F = $k_e$ $\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ $\quad$ $\text{con }$ r = L $\text{ (distancia centro--vértice de un hexágono regular)}$

F = $k_e$ $\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

$F_i$ = $k_e$ $\frac{2q^2}{L^2}$

$\sum$ $\vec{F}$ = 0

Glosario (5)

Fuerza electrostática: Fuerza de atracción o repulsión que ejercen entre sí dos cargas eléctricas en reposo.
Ley de Coulomb: Ley que establece que la fuerza entre dos cargas puntuales es proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
Carga equivalente: Carga que reemplaza a un conjunto de cargas y produce el mismo efecto en un punto dado.
Fuerza resultante: Vector suma de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o punto.
Principio de superposición: El campo o la fuerza total en un punto es la suma vectorial de los campos o fuerzas producidas por cada carga individualmente.

Preguntas para practicar

¿Qué se necesita para que la fuerza resultante sobre el centro sea distinta de cero en un arreglo de este tipo?

Romper la simetría: por ejemplo, poner dos cargas iguales en vértices opuestos, acercar una carga al centro o que la carga central no sea igual a la suma de las pares. Si algún vértice se elimina o cambia su carga, la cancelación $120^\circ$ deja de darse y aparece una resultante finita dirigida hacia el lado deficiente.

¿Por qué la fuerza sobre la carga central es independiente de cuánta carga tenga en absoluto, es decir, qué papel juega el signo?

El signo determina solo el sentido (atracción o repulsión) de cada vector, no su módulo, que depende del producto $|Q q|$. Como el arreglo es simétrico, cualquier cambio de signo de la carga central invierte los seis vectores a la vez y la suma vectorial sigue anulándose.

Temas y conceptos clave

Fuerza electrostáticaLey de CoulombSuma de vectores de fuerzaSimetría en distribuciones de cargascarga puntualconstante de Coulomb $k_e$atracciónrepulsiónfuerza resultantehexágono regularequilibrio

Fuentes y referencias

Texto de Física BGU, Bachillerato General Unificado, Ecuador (2024)

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Preguntas que la gente también hace

¿Cuál es la fuerza electrostática sobre una carga en el centro de un hexágono con cargas alternadas?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué la fuerza resultante es cero en un arreglo de cargas simétrico?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué le pasa a la resultante si se cambia el signo de la carga central?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Ley de Coulomb $F=k_e\frac{q_1q_2}{r^2}$
• Suma de vectores y sus componentes
• Geometría del hexágono regular (centro-vértice = lado)
• Signo de la fuerza: repulsión si son iguales, atracción si son opuestas

Siguiente tema sugerido

Campo eléctrico generado por una distribución de cargas y su principio de superposición

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"ACTIVIDADES }

Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

La fuerza electrostática permite estimar magnitudes de fuerza previas al movimiento de los electrones. Se colocan tres cargas puntuales positivas (+q) y tres cargas puntuales negativas (-q) de manera alternada sobre los vértices de un hexágono de lado “L”. En el centro del hexágono se coloca una carga positiva equivalente (+20):

a) Determino la gráfica con las cargas respectivas y sus vectores de atracción y repulsión.

b) Determino la magnitud de la fuerza resultante sobre el centro.

c) Respondo ¿qué sucede si se altera la carga del centro positivo por una negativa (-2q)?

Texto de Física \ 455

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