Contexto del ejercicio

El enunciado completo del problema (cargas, signos y distancias) está en las páginas anteriores, que no se incluyen en esta página. Por eso la resolución se plantea de forma general: consideramos un cuadrado de lado a con tres cargas q_1, q_2 y q_3 colocadas en tres de sus vértices y V el cuarto vértice, libre de cargas.

Constante de Coulomb: k = 9.0 imes 10^{9} ext{ N·m}^{2}/ ext{C}^{2}.

Determino el potencial eléctrico en el vértice mencionado.

1. El potencial eléctrico es un escalar: el potencial total en V es la suma algebraica de los que producen las tres cargas.
2. Distancia desde q_1 (vértice adyacente) hasta V: r_1 = a.
3. Distancia desde q_2 (el otro vértice adyacente) hasta V: r_2 = a.
4. Distancia desde q_3 (vértice opuesto) hasta V: es la diagonal del cuadrado, r_3 = \sqrt{a^{2}+a^{2}} = a\sqrt{2}.
5. Sustitución en el principio de superposición:

V = k\frac{q_1}{r_1} + k\frac{q_2}{r_2} + k\frac{q_3}{r_3} = k\left(\frac{q_1}{a} + \frac{q_2}{a} + \frac{q_3}{a\sqrt{2}}\right) = \frac{k}{a}\left(q_1 + q_2 + \frac{q_3}{\sqrt{2}}\right)

Caso particular (tres cargas iguales q):

V = \frac{k q}{a}\left(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx \frac{k q}{a}(2 + 0{,}707) = 2{,}707\,\frac{k q}{a}

Determino el trabajo necesario para mover una carga de q = 10\ \mu\text{C} desde el centro del cuadrado hasta el cuarto vértice.

1. El trabajo para mover una carga en un campo electrostático depende solo de los extremos:

W = q\,(V_f - V_i) = q\,\Delta V

2. Potencial en el centro del cuadrado: la distancia desde el centro a cada vértice es la mitad de la diagonal, r_c = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}, para las tres cargas. Por simetría:

V_c = k\frac{q_1}{r_c} + k\frac{q_2}{r_c} + k\frac{q_3}{r_c} = \frac{\sqrt{2}`k}{a}(q_1 + q_2 + q_3)

3. Potencial en el cuarto vértice (parte c):

V_v = \frac{k}{a}\left(q_1 + q_2 + \frac{q_3}{\sqrt{2}}\right)

4. Sustitución con q = 10\ \mu\text{C} = 10 \times 10^{-6}\ \text{C}:

W = q\,(V_v - V_c) = 10 \times 10^{-6} \times \frac{k}{a}\left[\left(q_1 + q_2 + \frac{q_3}{\sqrt{2}}\right) - \sqrt{2}(q_1 + q_2 + q_3)\right]

5. Caso particular (tres cargas iguales q_0): V_v = 2{,}707\,\frac{k q_0}{a} y V_c = \sqrt{2}\cdot 3\,\frac{k q_0}{a} = 4{,}243\,\frac{k q_0}{a}; por lo tanto:

\Delta V = (2{,}707 - 4{,}243)\frac{k q_0}{a} = -1{,}536\,\frac{k q_0}{a}

W = 10 \times 10^{-6} \times \left(-1{,}536\,\frac{k q_0}{a}\right)

El signo negativo indica que el campo eléctrico realiza el trabajo (la carga es arrastrada); el trabajo que debe aportar un agente externo es el opuesto, W_{ext} = -W > 0 si las cargas son todas del mismo signo.

Explico qué sucede con el potencial y el campo eléctrico si se cambia de vértice.

1. El potencial V = k\sum \frac{q_i}{r_i} es un escalar que depende de las distancias r_i desde el punto a las cargas.
2. Al pasar de un vértice a otro que sea equivalente respecto de la distribución de cargas (por ejemplo, de un vértice adyacente al otro adyacente cuando q_1 = q_2), las distancias a cada carga son las mismas, por lo que el potencial no cambia: V' = V.
3. Si el nuevo vértice es no equivalente (por ejemplo, pasar del vértice adyacente al opuesto, o si q_1 \ne q_2), cambian los r_i y por lo tanto el potencial: V' \ne V.
4. El campo eléctrico \vec{E} es un vector: \vec{E} = k\sum \frac{q_i}{r_i^2}\hat{r}_i. Aunque los módulos coincidan en vértices equivalentes, las direcciones de los vectores $`\vec{E} cambiados de posición son distintas (están relacionados por la simetría del cuadrado: se rotan un ángulo distinto cada vez). Por eso el campo eléctrico sí cambia de dirección al moverse de vértice, y también de módulo si las cargas no son iguales.

Respuesta orientativa: En vértices equivalentes el potencial se conserva (es escalar y solo depende de las distancias), mientras que el campo eléctrico, al ser vectorial, cambia de dirección (y de módulo si las cargas son distintas); la simetría de la distribución determina si el potencial permanece igual.