Con cinco cargas q_1=+40 , q_2=+60 , q_3=-100 , q_4=-120 , q_5=+10 en las esquinas de un prisma rectangular de base a=100 cm, b=2a y altura h=400 cm, determinar las posiciones, distancias, carga total, fuerzas de Coulomb entre pares y la resultante sobre q_1.

q_tot=-110 ; F_15=3,6 N; F_14=8,64 N; F_23=10,8 N; F_34=6,75 N; |F_1|≈11,5 N

Libro de Física 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Cargas eléctricas en un prisma rectangular: ley de Coulomb y configuración espacial

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 3° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

$q_tot$ = -110 μC; diagonales d = √5 ≈ 2,24 m y d = √21 ≈ 4,58 m; F15 = 3,6 N (repulsiva), F14 = 8,64 N (atractiva), F23 = 10,8 N (atractiva), F34 = 6,75 N; Resultante sobre q1 ≈ 11,5 N; $U_total$ < 0.

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Solución — Página 130

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 4

(análisis preparatorio de la configuración)

Se disponen cinco cargas en esquinas de un prisma rectangular: $q_{1}=+40\,\mu\text{C}$ , $q_{2}=+60\,\mu\text{C}$ , $q_{3}=-100\,\mu\text{C}$ , $q_{4}=-120\,\mu\text{C}$ , $q_{5}=+10\,\mu\text{C}$ , con $a=100\,\text{cm}=1\,\text{m}$ , $b=2a=2\,\text{m}$ y $h=400\,\text{cm}=4\,\text{m}$ .

Las actividades específicas no aparecen en esta página (continúan en la siguiente); se resuelve aquí el análisis geométrico y magnitudes típicas que las respaldan.

Ejercicio 4

1 Coordenadas de cada carga (origen en $q_{1}$)

$q_{1}$ en el origen: $(0,0,0)$ .
$q_{5}$ en la misma arista de la base, separada $a$ : $(a,0,0)=(1,0,0)$ .
$q_{4}$ detrás de $q_{5}$ , separada $b$ : $(a,b,0)=(1,2,0)$ .
$q_{2}$ sobre $q_{1}$ , separada $h$ : $(0,0,h)=(0,0,4)$ .
$q_{3}$ sobre $q_{4}$ , separada $h$ : $(a,b,h)=(1,2,4)$ .

Respuesta

posiciones $(0,0,0)$ , $(1,0,0)$ , $(1,2,0)$ , $(0,0,4)$ , $(1,2,4)$ en metros.

Ejercicio 4

2 Distancias entre pares (usando $d=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}$)

$d_{15}=a=1\,\text{m}$ .
$d_{54}=b=2\,\text{m}$ .
$d_{12}=d_{43}=h=4\,\text{m}$ .
$d_{14}=d_{23}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}\approx 2{,}24\,\text{m}$ (diagonal de la base).
$d_{52}=d_{53}=\sqrt{a^{2}+h^{2}}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\approx 4{,}12\,\text{m}$ ; $d_{53}=\sqrt{b^{2}+h^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\approx 4{,}47\,\text{m}$ .
$d_{24}=d_{13}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}\approx 4{,}58\,\text{m}$ (diagonal del prisma).

Respuesta

diagonales $\sqrt{5}\approx2{,}24\,\text{m}$ , $\sqrt{21}\approx4{,}58\,\text{m}$ .

Ejercicio 4

3 Carga total del conjunto

Suma algebraica: $q_{\text{tot}}=q_{1}+q_{2}+q_{3}+q_{4}+q_{5}$ .
Sustitución: $q_{\text{tot}}=40+60-100-120+10=-110\,\mu\text{C}$ .

Respuesta

$q_{\text{tot}}=-110\,\mu\text{C}$ .

Ejercicio 4

4 Fuerzas de Coulomb entre pares seleccionados ($F=k\dfrac{q_{i}q_{j}}{d^{2}}$, $k=9\times10^{9}\,\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}$)

Par $(q_{1},q_{5})$ : $F_{15}=\dfrac{9\times10^{9}\cdot(40\times10^{-6})(10\times10^{-6})}{1^{2}}=3{,}6\,\text{N}$ , repulsiva (mismo signo).
Par $(q_{1},q_{4})$ : $F_{14}=\dfrac{9\times10^{9}(40\times10^{-6})(120\times10^{-6})}{(\sqrt{5})^{2}}=\dfrac{43{,}2\times10^{-3}\times10^{9}}{5}\times10^{-6}$ simplificando: $=8{,}64\,\text{N}$ , atractiva.
Par $(q_{2},q_{3})$ : $F_{23}=\dfrac{9\times10^{9}(60\times10^{-6})(100\times10^{-6})}{5}=10{,}8\,\text{N}$ , atractiva.
Par $(q_{3},q_{4})$ : $F_{34}=\dfrac{9\times10^{9}(100\times10^{-6})(120\times10^{-6})}{16}=6{,}75\,\text{N}$ , repulsiva (mismo signo negativo).

Respuesta

$F_{15}=3{,}6\,\text{N}$ (repulsiva), $F_{14}=8{,}64\,\text{N}$ (atractiva), $F_{23}=10{,}8\,\text{N}$ (atractiva), $F_{34}=6{,}75\,\text{N}$ (repulsiva).

Ejercicio 4

5 Resultante sobre $q_{1}$ (ilustración del método vectorial)

$\vec{F}_{15}$ : $3{,}6\,\hat{i}$ (repulsiva, a lo largo de $a$ ).
$\vec{F}_{14}$ : magnitud $8{,}64\,\text{N}$ con dirección $(1,2,0)/\sqrt{5}=(0{,}447;0{,}894;0)$ , es decir $3{,}86\,\hat{i}+7{,}73\,\hat{j}$ .
$\vec{F}_{12}$ : repulsiva, $1{,}35\,\text{N}$ en $-\hat{z}$ (pues $F_{12}=\frac{9\times10^{9}(40\times10^{-6})(60\times10^{-6})}{16}=1{,}35\,\text{N}$ ).
$\vec{F}_{13}$ : atractiva, $F_{13}=\frac{9\times10^{9}(40\times10^{-6})(100\times10^{-6})}{21}\approx1{,}71\,\text{N}$ , con dirección $(0{,}218;0{,}436;0{,}873)$ .
Suma de componentes: $F_{x}=3{,}6+3{,}86+0{,}37\approx7{,}83\,\text{N}$ ; $F_{y}=7{,}73+0{,}75\approx8{,}48\,\text{N}$ ; $F_{z}=-1{,}35+1{,}49\approx0{,}14\,\text{N}$ .
Módulo: $|\vec{F}_{1}|=\sqrt{(7{,}83)^{2}+(8{,}48)^{2}+(0{,}14)^{2}}\approx11{,}5\,\text{N}$ .

Respuesta

$|\vec{F}_{1}|\approx11{,}5\,\text{N}$ , dirigida esencialmente en el plano $xy$ con leve componente $+z$ .

Ejercicio 4

6 Energía potencial eléctrica del sistema (suma de todos los pares)

El método consiste en $U=k\sum_{i<j}\dfrac{q_{i}q_{j}}{d_{ij}}$ con las diez distancias calculadas.
Con $k=9\times10^{9}$ y las cargas en coulombs se obtiene una suma con término dominante $\frac{q_{1}q_{5}}{1}=4{,}0\times10^{-10}\,\text{C}^{2}/\text{m}$ y términos negativos mayores en magnitud (p. ej. $\frac{q_{1}q_{4}}{\sqrt{5}}\approx-2{,}15\times10^{-9}$ ).
La suma total resulta negativa, lo que indica un conjunto ligado: las cargas negativas $q_{3}$ y $q_{4}$ dominan energéticamente.

Verificación cualitativa: como $|q_{3}|+|q_{4}|=220\,\mu\text{C}$ supera a $|q_{1}|+|q_{2}|+|q_{5}|=110\,\mu\text{C}$ , la carga neta es negativa ( $-110\,\mu\text{C}$ ), coherente con el resultado de la suma algebraica.

Respuesta

$U_{\text{total}}<0$ (conjunto eléctricamente ligado).

Contenido de la página

4. Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

En un laboratorio de física se realizan simulaciones para conocer el comportamiento de cargas eléctricas en el espacio. Para ello, es necesario predecir su movimiento a fin de entregar un estimado a los matemáticos para generar un modelo que entre en funcionamiento.

Se colocan cinco cargas (como las que se muestran en la figura) que representan un prisma rectangular, sabiendo que las cargas son: $q_{1}=+40\,\mu\text{C}$ ; $q_{2}=+60\,\mu\text{C}$ ; $q_{3}=-100\,\mu\text{C}$ ; $q_{4}=-120\,\mu\text{C}$ ; $q_{5}=+10\,\mu\text{C}$ , las medidas de la base del prisma son $a=100\,\text{cm}$ ; $b=2a$ , y de $h=400\,\text{cm}$ .

![Figura: cinco cargas en las esquinas de un prisma rectangular (q1 y q5 en la base frontal separadas por a; q4 detrás de q5 separada por b; q2 sobre q1 y q3 sobre q4, separadas por h)]

Fuente: https://n9.cl/6ricrz

Ejemplos resueltos

Determinar la fuerza de interacción entre $q_{1}=+40\,\mu\text{C}$ y $q_{5}=+10\,\mu\text{C}$ , separadas por $a=1\,\text{m}$ .

Convertir: $q_{1}=40\times10^{-6}\,\text{C}$ y $q_{5}=10\times10^{-6}\,\text{C}$ .
Sustituir en la ley de Coulomb: $F=\dfrac{(9\times10^{9})(40\times10^{-6})(10\times10^{-6})}{1^{2}}$ .
Numerador: $9\times10^{9}\times4\times10^{-10}=3{,}6\,\text{N}$ .
Al tener mismo signo, la fuerza es repulsiva.

Tablas (2)

Carga	Valor (µC)	Posición (m)	Vecinos cercanos
$q_{1}$	$+40$	$(0,0,0)$	$q_{5}$ (1 m), $q_{2}$ (4 m)
$q_{2}$	$+60$	$(0,0,4)$	$q_{1}$ (4 m), $q_{3}$ (2,24 m)
$q_{3}$	$-100$	$(1,2,4)$	$q_{4}$ (4 m), $q_{2}$ (2,24 m)
$q_{4}$	$-120$	$(1,2,0)$	$q_{5}$ (2 m), $q_{3}$ (4 m)
$q_{5}$	$+10$	$(1,0,0)$	$q_{1}$ (1 m), $q_{4}$ (2 m)

Par	Distancia (m)	Fuerza (N)	Tipo
$q_{1}-q_{5}$	1	3,6	Repulsiva
$q_{1}-q_{4}$	2,24	8,64	Atractiva
$q_{2}-q_{3}$	2,24	10,8	Atractiva
$q_{3}-q_{4}$	4	6,75	Repulsiva
$q_{1}-q_{2}$	4	1,35	Repulsiva

Diagrama

graph TD
  subgraph Prisma
    q1[(q1 +40 µC)] --- q5[(q5 +10 µC)]
    q5 --- q4[(q4 -120 µC)]
    q1 -. vertical h = 4 m .- q2[(q2 +60 µC)]
    q4 -. vertical h = 4 m .- q3[(q3 -100 µC)]
    q2 -. diagonal base .- q3
  end

Fórmulas y ecuaciones

Ley de Coulomb: $F = k\dfrac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}$ con $k = 9\times10^{9}\,\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}$

Distancia 3D: $d = \sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}$

F = k $\dfrac{q_{i}q_{j}}{d_{ij}^{2}}$

$d_{ij}$ = $\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}$

$q_{$ $\text{tot}$ } = $\sum_{i}$ $q_{i}$

$d_{$ $\text{diagonal base}$ } = $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

$d_{$ $\text{diagonal prisma}$ } = $\sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}$

U = $k\sum_{i<j}$ $\dfrac{q_{i}q_{j}}{d_{ij}}$

Glosario (6)

Prisma rectangular: Sólido con dos bases rectangulares congruentes unidas por caras laterales rectangulares perpendiculares a la base.
Carga eléctrica puntual: Carga concentrada en un punto, cuyo valor se mide en coulombs (C); su múltiplo usual es el microcoulomb (\mu C = 10^{-6} C).
Fuerza atractiva: Interacción entre cargas de signos opuestos; se dirige a lo largo de la recta que las une hacia la otra carga.
Fuerza repulsiva: Interacción entre cargas del mismo signo; se dirige a lo largo de la recta que las une, alejándose entre sí.
Carga neta: Suma algebraica de todas las cargas de un sistema; determina el signo del sistema a distancia grande.
Diagonal del prisma: Segmento que une dos vértices no situados en la misma cara; en un prisma rectangular, $d=\sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}$.

Preguntas para practicar

¿Por qué es importante predecir el movimiento de las cargas antes de generar un modelo matemático?

Porque las fuerzas de Coulomb definen las trayectorias: al conocer magnitud y dirección de cada fuerza resultante se puede anticipar aceleraciones y posiciones futuras, evitando configuraciones inestables y validando la simulación antes de implementarla computacionalmente.

Temas y conceptos clave

Cargas eléctricas en el espacioConfiguración tridimensional de cargasLey de Coulombprisma rectangularcargas puntualesdiagonal de basefuerza atractiva/repulsivacarga neta

Fuentes y referencias

https://n9.cl/6ricrz

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la fuerza entre dos cargas puntuales en un arreglo tridimensional?

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Qué es la diagonal de un prisma rectangular y cómo se obtiene con el teorema de Pitágoras en 3D?

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¿Qué significa que la carga total de un sistema sea negativa?

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📌 Antes de leer esto

• Ley de Coulomb y constantes SI
• Vectores y componentes en tres dimensiones
• Teorema de Pitágoras y distancias entre puntos
• Unidades de carga (microcoulomb) y conversión a metros

Siguiente tema sugerido

Resolución de las actividades específicas de la página 131 (movimiento predicho, campo eléctrico y/o energía del sistema de cinco cargas).

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 648 caracteres

Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

Se colocan cinco cargas (como las que se muestran en la figura) que representan un prima rectangular, sabiendo que las cargas son: q, =+40 uC; q, =+60 uC; q, =-100 pC; q, =-120 UC; q ¿ =10pC , las medidas de la base del prisma son a=100 cm; b=2a, y de h=400 cm.

Fuente: httpsi/In9.cl/Grierz

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