Contexto y lectura del problema

Las montañas rusas son uno de los juegos más frecuentes de los parques de diversiones. La mayoría usa un motor que lleva el vagón hasta una altura determinada; a partir de ahí el movimiento lo gobierna la gravedad. El diseño mostrado está en simulación y debe verificarse mediante cálculos.

Magnitudes del diagrama

• Punto de partida (1): altura de 35 \\, \\text{m} sobre el suelo.
• Punto más alto (2): altura de 120 \\, \\text{m}.
• Bucle vertical: radio R = 20 \\, \\text{m}, por lo que su centro está a 40 \\, \\text{m} del suelo y su parte superior a 2R = 40 \\, \\text{m}.

Datos técnicos de la tabla

• Longitud de la rampa de ascenso: 46 \\, \\text{m}.
• Masa del vagón: 4 personas.
• Longitud total del recorrido: 600 \\, \\text{m}.
• Tiempo total del recorrido: 4 \\, \\text{min}.

Análisis orientativo con los datos disponibles

1. Velocidad media del recorrido. Convertimos el tiempo a segundos: 4 \\, \\text{min} \\times 60 \\, \\text{s/min} = 240 \\, \\text{s}. Luego v_{media}=\\frac{\\Delta x}{\\Delta t}=\\frac{600 \\, \\text{m}}{240 \\, \\text{s}}=2{,}5 \\, \\text{m/s} Es un valor bajo porque incluye tramos lentos de arrastre por el motor.

2. Masa aproximada del vagón. Tomando una masa media de 70 \\, \\text{kg} por persona: m = 4 \\times 70 \\, \\\text{kg} = 280 \\, \\text{kg}

3. Inclinación de la rampa. Como la rampa mide 46 \\, \\text{m} de largo y sube 35 \\, \\text{m}: \\sin \\theta =\\frac{35}{46}\\approx 0{,}761 \\Rightarrow \\theta \\approx 49{,}5^°

4. Energía potencial gravitatoria en el punto 2 (referencia h=0 en el suelo): E_p = m g h = 280 \\, \\text{kg} \\times 9{,}8 \\, \\text{m/s}^2 \\times 120 \\, \\text{m} \\approx 3{,}29 \\times 10^5 \\, \\text{J}

5. Velocidad teórica al caer desde el punto 2 al suelo (sin fricción, mgh = \\frac{1}{2}mv^2): v =\\sqrt{2 g h}=\\sqrt{2\\times 9{,}8\\times 120}=\\sqrt{2352}\\approx 48{,}5 \\, \\text{m/s}

6. Velocidad en el punto 1 (h_1 = 35 \\, \\text{m}): v_1=\\sqrt{2\\times 9{,}8\\times 35}=\\sqrt{686}\\approx 26{,}2 \\, \\text{m/s}

7. Velocidad en la parte superior del bucle (h = 2R = 40 \\, \\text{m}): v_{loop}=\\sqrt{2\\times 9{,}8\\times(120-40)}=\\sqrt{1568}\\approx 39{,}6 \\, \\text{m/s}

8. Fuerza centrípeta en la parte superior del bucle con esa velocidad: F_c =\\frac{m v^2}{r}=\\frac{280\\times 39{,}6^2}{20}\\approx 2{,}19\\times 10^4 \\, \\text{N} Para que el vagón no se desprenda debe cumplirse v \\ge \\sqrt{gr}=\\sqrt{9{,}8\\times 20}\\approx 14 \\, \\text{m/s}; el valor obtenido lo cumple con holgura.

Respuesta: Con los datos entregados se obtiene v_{media}=2{,}5 \\, \\text{m/s}, m\\approx 280 \\, \\text{kg}, E_p(120\\,\\text{m})\\approx 3{,}3\\times10^5 \\, \\text{J} y v_{max}\\approx 48{,}5 \\, \\text{m/s}, valores coherentes con la simulación.