— Continuación de la actividad (pág. 168, "Texto de Física")
Datos del enunciado: fuerza del motor F = 1000 \, \text{N}, velocidad constante del ascenso v = 5 \, \text{m/s}. La figura de la página anterior aporta además: masa del vagón m, longitud total de la rampa L, altura del punto más alto h_{1} y altura del alto del rizo h_{2} (con h_{2} < h_{1}). Todos los cálculos siguientes se presentan con esas letras para poder sustituirlas al instante con los valores de la figura.
Cálculo del trabajo realizado por la fuerza de $1000 \, \text{N}$
- El trabajo de una fuerza constante es W = F \cdot d \cdot \cos\theta, donde \theta es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento.
- El motor empuja el vagón en la dirección del movimiento, es decir \theta = 0^{\circ} y \cos 0^{\circ} = 1.
- El desplazamiento es toda la longitud de la rampa: d = L.
- Sustitución: W = 1000 \, \text{N} \times L \, \text{m} \times 1 = 1000L \, \text{J}.
W = 1000 \, L \, \text{J} (por ejemplo, si L = 10 \, \text{m}, entonces W = 1{,}0 \times 10^{4} \, \text{J}). El trabajo es directamente proporcional a la longitud de la rampa.
Potencia desarrollada por el motor
- La potencia es la tasa de trabajo: P = \dfrac{W}{t}.
- Como W = F\cdot L y v = \dfrac{L}{t} (velocidad constante), entonces P = \dfrac{F\cdot L}{t} = F \cdot v.
- Sustitución con los valores conocidos: P = 1000 \, \text{N} \times 5 \, \text{m/s}.
- P = 5000 \, \text{W} = 5{,}0 \times 10^{3} \, \text{W} = 5 \, \text{kW}.
P = 5000 \, \text{W} = 5 \, \text{kW}. La potencia no depende de la longitud de la rampa sino de la fuerza y de la rapidez.
Energía mecánica en el punto más alto y velocidad máxima
- La energía mecánica es la suma de energía cinética y potencial: E_{m} = E_{c} + E_{p} = \dfrac{1}{2}mv^{2} + mgh.
- En el punto más alto el vagón mantiene la velocidad constante v = 5 \, \text{m/s} y está a la altura h_{1}: E_{m} = \frac{1}{2}m(5)^{2} + mgh_{1} = 12{,}5\,m + mgh_{1}
- Deducción del máximo de velocidad: después de alcanzar el punto más alto el motor se desacopla y, despreciando la fricción, solo actúa la gravedad, fuerza conservativa; por lo tanto E_{m} se conserva.
- Como E_{m} = \dfrac{1}{2}mv^{2} + mgh es constante, la velocidad es máxima cuando la energía potencial es mínima, es decir, en el punto más bajo del recorrido (pie de la rampa o base del rizo), donde h_{\min} = 0.
- Sustitución: \dfrac{1}{2}mv_{\max}^{2} = E_{m} - mg(0) = E_{m}, luego v_{\max} = \sqrt{\frac{2E_{m}}{m}} = \sqrt{2\left(12{,}5 + g\,h_{1}\right)}
E_{m} = 12{,}5\,m + mgh_{1} \, \text{J} en el punto más alto; el valor máximo de la velocidad se alcanza en el punto más bajo del recorrido, con v_{\max} = \sqrt{2(12{,}5 + g h_{1})}.
Energía cinética y potencial en el alto del rizo
- En el alto del rizo la altura es h_{2}, por lo que E_{p} = mgh_{2}.
- La energía mecánica total es la misma (conservación): E_{m} = 12{,}5\,m + mgh_{1}.
- La energía cinética es la diferencia entre la mecánica y la potencial: E_{c} = E_{m} - E_{p} = 12{,}5\,m + mg\left(h_{1} - h_{2}\right)
- De E_{c} = \dfrac{1}{2}mv^{2} se despeja la rapidez: v = \sqrt{\frac{2E_{c}}{m}} = \sqrt{2\left[12{,}5 + g\left(h_{1}-h_{2}\right)\right]}
E_{p} = mgh_{2}, E_{c} = 12{,}5\,m + mg(h_{1}-h_{2}) y v = \sqrt{2[12{,}5 + g(h_{1}-h_{2})]} en el alto del rizo.
Velocidad al entrar y al abandonar el rizo
- Al entrar al rizo el vagón está en el punto más alto, donde el motor lo impulsó a velocidad constante de 5 \, \text{m/s}: v_{\text{entrada}} = 5 \, \text{m/s}.
- Al abandonar el rizo regresa al mismo nivel (h_{1}), y al conservarse la energía mecánica con igual energía potencial se debe conservar también la energía cinética.
- Por lo tanto v_{\text{salida}} = v_{\text{entrada}}.
Verificación global: el trabajo del motor (1000\,L) y el aporte energético 12{,}5\,m + mgh_{1} deben dar la energía mecánica total; al subir convierte energía en potencial, al bajar la potencial se transforma en cinética y siempre se cumple E_{c} + E_{p} = \text{constante}.
v_{\text{entrada}} = 5 \, \text{m/s} y v_{\text{salida}} = 5 \, \text{m/s}: la rapidez de entrada y de salida coincide por conservación de la energía mecánica.
