Trabajo, energía cinética y potencia: rampa y grúa portuaria

Justifico o refuto la aseveración del ingeniero: "para disminuir el trabajo realizado es necesario hacer más grande la rampa", usando el teorema del trabajo y la variación de la energía cinética.

1. Planteamiento de partida: el trabajo que hay que realizar para subir un objeto de masa m hasta una altura h es el trabajo contra la fuerza de gravedad (fuerza conservativa). Por el teorema del trabajo y la energía:

W_{neto} = \Delta K = K_f - K_i

Si el contenedor se eleva en reposo inicial y llega también en reposo (subida lenta, sin cambio de rapidez), entonces:

K_i = K_f = 0 \quad \Rightarrow \quad W_{neto} = 0

2. Descomposición del trabajo neto:

W_{neto} = W_{grua} + W_{gravedad} + W_{rozamiento} = 0

3. El trabajo de la gravedad, al ser conservativa, depende únicamente de la diferencia de altura y no de la trayectoria:

W_{gravedad} = -mgh

4. Despejando el trabajo que debe aportar la máquina (ignorando rozamiento):

W_{grua} = mgh

Se observa que m, g y h son fijos: no aparece la longitud L de la rampa ni el ángulo \theta. Por lo tanto, alargar la rampa no disminuye el trabajo necesario; solo cambia la fuerza aplicada y la distancia.

5. Análisis con rozamiento (análisis más completo): si existe un coeficiente de rozamiento \mu, el trabajo del rozamiento es

W_{rozamiento} = -\mu mg\cos\theta \cdot L = -\mu mg h\cot\theta

Al hacer la rampa más larga, \theta disminuye y \cot\theta aumenta; aunque el valor absoluto de W_{rozamiento} puede variar, la energía potencial ganada mgh es invariable. El trabajo útil que debe suministrarse para elevar el contenedor es siempre mgh.

6. Conclusión: se refuta la aseveración. El trabajo contra la gravedad es independiente de la forma de la rampa (se conoce como principio de la palanca de Arquímedes o la idea de la rampa como máquina simple: lo que se gana en fuerza se pierde en distancia). Hacer la rampa más grande solo reduce la fuerza necesaria, no el trabajo realizado.

Una grúa portuaria de Guayaquil eleva un contenedor marítimo de 25 toneladas hasta una altura de 30 metros, en un tiempo de 50 segundos. Determinar la potencia requerida.

1. Conversión de unidades: una tonelada equivale a 1000 \, \text{kg}, así que

m = 25 \, \text{t} \times 1000 \, \frac{\text{kg}}{\text{t}} = 25\,000 \, \text{kg}

2. Datos: h = 30 \, \text{m}, t = 50 \, \text{s}, g = 9{,}8 \, \text{m/s}^{2}.

3. Trabajo necesario (igual a la energía potencial ganada, subida lenta):

W = mgh = 25\,000 \, \text{kg} \times 9{,}8 \, \text{m/s}^{2} \times 30 \, \text{m}

W = 7\,350\,000 \, \text{J} = 7{,}35 \times 10^{6} \, \text{J}

4. Potencia: es el trabajo realizado por unidad de tiempo,

P = \frac{W}{t} = \frac{7\,350\,000 \, \text{J}}{50 \, \text{s}} = 147\,000 \, \text{W}

5. Expresión en unidades más prácticas:

P = 147\,000 \, \text{W} \times \frac{1 \, \text{kW}}{1000 \, \text{W}} = 147 \, \text{kW}

6. Verificación alternativa: la rapidez de elevación es v = \frac{h}{t} = \frac{30}{50} = 0{,}6 \, \text{m/s}, y entonces

P = F \cdot v = mg \cdot v = 25\,000 \times 9{,}8 \times 0{,}6 = 147\,000 \, \text{W} = 147 \, \text{kW}

Resultado idéntico, lo que confirma el cálculo.

Observación metodológica

Los literales a) y b) de la actividad 1, así como las actividades propuestas a partir de la lectura de la grúa portuaria, continúan en la página siguiente del texto; el presente trabajo se limita a lo explícitamente visible en la página 164.