La ecuación y(t,x)=7\,\text{sen}\!\left(nx+\dfrac{\pi}{4}\right)\ \text{cm} modela la onda de un instrumento de afinación. Se pide: clasificarla, graficarla, determinar sentido y sentido de propagación, y calcular frecuencia y longitud de onda.

La ecuación está escrita como un instantánea (y no depende explícitamente de t), es decir, es la forma de la onda en el instante t=0. Se toma n=1\ \text{cm}^{-1} solo para poder dibujarla; la forma general no cambia.

Para t=0: y(x)=7\,\text{sen}\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\ \text{cm}.

xychart-beta
    title "Instantánea de la onda: y(x) = 7 sen(x + pi/4) en cm"
    x-axis "x (cm)" [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
    y-axis "y (cm)" -8 to 8
    line [4.95, 6.85, 2.44, -4.20, -6.98, -3.33, 3.37, 6.98, 4.19]

Elementos que debe incluir el gráfico:

• Amplitud: A=7\ \text{cm} (altura máxima respecto al eje x, -7\le y\le 7).
• Longitud de onda: distancia entre crestas consecutivas, λ=2\pi\ \text{cm} (para n=1\ \text{cm}^{-1}).
• Cresta: punto de máximo y=+7\ \text{cm}, en x+\pi/4=\pi/2\Rightarrow x=\pi/4\approx0,79\ \text{cm}.
• Valle: punto de mínimo y=-7\ \text{cm}, en x+\pi/4=3\pi/2\Rightarrow x=5\pi/4\approx3,93\ \text{cm}.
• Equilibrio: recta y=0.
• Fase inicial: φ=\pi/4\ \text{rad}=45^\circ, es decir, el gráfico se desplaza φ/n=\pi/4\ \text{cm} hacia la derecha respecto de una onda 7\,\text{sen}(nx).

1. El argumento del seno es la fase: Φ=nx+\pi/4. Como la ecuación impresa carece de término en t, el modelo completo de onda viajera que la completa es y(t,x)=7\,\text{sen}\!\left(nx\ \boldsymbol{+}\ \omega t+\dfrac{\pi}{4}\right), donde el signo positivo de la fase es el mismo que el de la ecuación dada.
2. Para que un punto de la onda se mantenga en la misma altura, su fase debe conservarse: nx+\omega t+\pi/4=\text{constante}.
3. Despejando x: x=\dfrac{\text{const}-\omega t}{n}.
4. Derivando respecto del tiempo: \dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{\omega}{n}=-v<0 (ya que n>0 y ω>0).
5. Como la velocidad es negativa, el punto de la onda avanza hacia valores menores de x: la onda se propaga en el sentido negativo del eje x (hacia la izquierda).
6. Regla práctica: en y=A\,\text{sen}(nx\pm\omega t+\varphi), el mismo signo para nx y ωt implica propagación en -x; signos opuestos implican propagación en +x.

1. El coeficiente del x es el número de ondas: k=n\ \text{rad/cm}.
2. Longitud de onda (el argumento debe variar en 2\pi para repetir la onda):

n\lambda=2\pi\ \Rightarrow\ \boxed{\lambda=\dfrac{2\pi}{n}\ \text{cm}}

Para n=1\ \text{cm}^{-1}: \lambda=2\pi\approx6,28\ \text{cm}. 3. Como el modelo solo presenta x, la frecuencia se obtiene con la forma completa y=7\,\text{sen}(nx-\omega t+\pi/4), donde la velocidad de propagación es v=\dfrac{\omega}{n}\ \text{cm/s}. 4. Despejando: ω=nv. 5. Frecuencia angular: ω=nv\ \text{rad/s}. 6. Frecencia:

f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{nv}{2\pi}=\dfrac{v}{\lambda}\ \text{Hz}

Período: T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{nv} s. 7. Ejemplo con n=1\ \text{cm}^{-1} y v=100\ \text{cm/s}: f=\dfrac{1\cdot100}{2\pi}\approx15,9\ \text{Hz} y \lambda\approx6,28\ \text{cm}.

Nota de verificación: y(x+\lambda)=7\,\text{sen}\!\left(n\left(x+\dfrac{2\pi}{n}\right)+\dfrac{\pi}{4}\right)=7\,\text{sen}\!\left(nx+2\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)=7\,\text{sen}\!\left(nx+\dfrac{\pi}{4}\right)=y(x) ✔.