Ejercicio 4: Modelos matemáticos de ondas
Para construir modelos de ondas basta con analizar ciertas condiciones de la naturaleza, como las olas del mar, o los instrumentos musicales. Al recrear un modelo matemático de una situación podremos conocer parámetros específicos del comportamiento de una onda en un intervalo de tiempo determinado.
a) La ecuación:
y(t,x) = 7\,\text{sen}\left(nx + \frac{\pi}{4}\right)\,\text{cm}
representa la onda para un instrumento de afinación.
A partir de ello, determino lo siguiente:
i) ¿Se trata de una onda longitudinal o transversal? Justifico mi respuesta.
[Espacio para desarrollo: La función y(t,x) representa el desplazamiento transversal en función de posición x y tiempo t. Como el desplazamiento es perpendicular a la dirección de propagación, se trata de una onda transversal.]
[Espacio para desarrollo]
ii) Realizo un gráfico o esquema de la onda e incluyo todos sus elementos.
Parámetros de la ecuación:
- A = 7\,\text{cm} (amplitud)
- k = n (número de onda, donde k = \frac{2\pi}{\lambda})
- \phi = \frac{\pi}{4} (fase inicial)
[Espacio para gráfica]
iii) Indico de acuerdo a la ecuación en la gráfica, el sentido y propagación de la onda. Justifico mi respuesta.
[Espacio para desarrollo: La ecuación y(t,x)=7 sen(nx+π/4) tiene el argumento en la forma (kx+ωt) o (kx+φ). Si la forma es f(kx+ωt), la onda se propaga en la dirección negativa del eje x (hacia la izquierda). El signo positivo indica propagación en -x.]
[Espacio para desarrollo]
iv) Calculo la frecuencia y la longitud de la onda.
Número de onda: k = n (si n=π, entonces \lambda = \frac{2\pi}{n} = 2 cm)
\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{n}
f = \frac{v}{\lambda} \text{ (se necesita velocidad de propagación)}
[Espacio para desarrollo]
