Fibra óptica con n_n=1,5 (núcleo) y n_r=1,4 (recubierta). Determinar el cono de aceptación: ángulos que deben tener los rayos incidentes (desde el aire) para quedar atrapados en su interior.

_a≈ 32,6^ con el eje de la fibra (conos de ≈ 65,2^)

Libro de Física 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Fibra óptica: cálculo del cono de aceptación y del ángulo límite

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Respuesta rápida

Ángulo crítico núcleo–recubierta: $\theta_{c}=\arcsin(1,4/1,5)\approx 69^{\circ}$ . Apertura numérica: $\sqrt{1{,}5^{2}-1{,}4^{2}}=\sqrt{0{,}29}\approx 0{,}54$ . Ángulo de aceptación: $\theta_{a}\approx 32,6^{\circ}$ con el eje (conos de $\approx 65{,}2^{\circ}$ ).

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Solución — Página 192

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 7

Se pide el cono de aceptación de una fibra óptica: los ángulos que deben tener los rayos incidentes (desde el aire, $n_{aire}=1$ ) para quedar atrapados por reflexión total interna en el núcleo ( $n_{n}=1,5$ ) frente a la recubierta ( $n_{r}=1,4$ ).

Parte 7.a

Reflexión total interna en la interfaz núcleo–recubierta

El rayo queda atrapado si, al incidir sobre la interfaz núcleo–recubierta, lo hace con ángulo mayor o igual que el ángulo crítico $\theta_{c}$ .
Aplico la ley de Snell con $n_{n}\sin\theta_{c}=n_{r}\sin 90^{\circ}$ : $\sin\theta_{c}=\frac{n_{r}}{n_{n}}=\frac{1,4}{1,5}=0,9333$
Despejo el ángulo crítico: $\theta_{c}=\arcsin(0,9333)\approx 68,96^{\circ}\approx 69^{\circ}$
Equivalentemente, el rayo viaja por el núcleo haciendo un ángulo máximo con el eje de la fibra de $\alpha_{max}=90^{\circ}-\theta_{c}\approx 90^{\circ}-68,96^{\circ}=21,04^{\circ}$

Respuesta

$\theta_{c}\approx 69^{\circ}$ (con el normal a la interfaz); es decir, dentro del núcleo el rayo debe formar menos de $\approx 21^{\circ}$ con el eje de la fibra.

Parte 7.b

Ángulo de aceptación (apertura numérica)

En la cara de entrada (aire → núcleo), la ley de Snell es $n_{aire}\,\text{sen}\,\theta_{a}=n_{n}\,\text{sen}\,\theta_{r}$ , donde $\theta_{a}$ es el ángulo de aceptación y $\theta_{r}$ el ángulo refractado dentro del núcleo.
El rayo límite corresponde a $\theta_{r}=\alpha_{max}=90^{\circ}-\theta_{c}$ , de modo que $\text{sen}\,\theta_{r}=\cos\theta_{c}$ .
Como $\cos\theta_{c}=\sqrt{1-\text{sen}^{2}\theta_{c}}=\sqrt{1-\left(\dfrac{n_{r}}{n_{n}}\right)^{2}}$ , la apertura numérica vale $\text{AN}=n_{aire}\,\text{sen}\,\theta_{a}=\sqrt{n_{n}^{2}-n_{r}^{2}}=\sqrt{(1,5)^{2}-(1,4)^{2}}=\sqrt{2,25-1,96}=\sqrt{0,29}$
Calculo: $\text{AN}=\sqrt{0,29}\approx 0,5385\qquad (n_{aire}=1)$
Despejo el ángulo de aceptación: $\theta_{a}=\arcsin(0,5385)\approx 32,58^{\circ}\approx 32,6^{\circ}$
El cono completo de aceptación es doble: $2\theta_{a}\approx 65,2^{\circ}$

Respuesta

$\theta_{a}\approx 32,6^{\circ}$ con el eje de la fibra; el cono de aceptación mide $\approx 65,2^{\circ}$ .

Parte 7.c

Comprobación

Si $\theta_{a}=32,58^{\circ}$ , entonces $\text{sen}\,\theta_{a}=0,5385$ . Snell en la entrada: $1\cdot0,5385=1,5\,\text{sen}\,\theta_{r}\Rightarrow \text{sen}\,\theta_{r}=0,3590\Rightarrow \theta_{r}\approx 21,04^{\circ}$ . Con la interfaz interna, el ángulo con el normal es $90^{\circ}-21,04^{\circ}=68,96^{\circ}=\theta_{c}$ : el rayo se refleja exactamente en el límite de la reflexión total. ✓

Respuesta final: $\boxed{\theta_{a}\approx 32,6^{\circ}}$ con respecto al eje de la fibra (conos de $\approx 65,2^{\circ}$ ), con $\text{AN}\approx 0,54$ y ángulo crítico núcleo–recubierta $\theta_{c}\approx 69^{\circ}$ .

Contenido de la página

7. Problema: cono de aceptación de una fibra óptica

La velocidad de internet y de transferencia de datos depende del medio de la transmisión de datos digitales, que se realiza por medio de ondas de luz. La información codificada se realiza de manera eficaz en un haz de luz a través de un tubo de vidrio o plástico.

Los rayos se propagan en el núcleo de la fibra, con un índice $n_{n}=1,5$ . Por otro lado, la recubierta de dicho material posee un índice de refracción $n_{r}=1,4$ .

Determino el cono de aceptación de la fibra, es decir, ¿qué ángulos deben tener los rayos incidentes en la fibra para quedar atrapados en su interior?

Fuente de la imagen: https://acortar.link/ptF7sL

Idea física

Un rayo queda atrapado en el núcleo si, al chocar contra la interfaz núcleo–recubierta, incide con ángulo mayor que el ángulo crítico $\theta_{c}$ (reflexión total interna). Al entrar desde el aire, Snell fija qué ángulos de entrada (el cono de aceptación) producen ese ángulo interno límite.

Ejemplos resueltos

Fibra con núcleo $n_1=1,48$ y recubierta $n_2=1,46$ . Determinar el ángulo crítico y el ángulo de aceptación en el aire.

$\sin\theta_c=\frac{1,46}{1,48}=0,9865\Rightarrow \theta_c\approx 80,5^{\circ}$ . Luego $\text{AN}=\sqrt{1,48^2-1,46^2}=\sqrt{0,5892}\approx 0,2427$ y $\theta_a=\arcsin(0,2427)\approx 14,0^{\circ}$ .

Tabla

Magnitud	Valor	Forma de obtenerla
Índice del núcleo, $n_n$	1,5	Dato
Índice de la recubierta, $n_r$	1,4	Dato
$\sin\theta_c$	$1,4/1,5=0,9333$	$n_r/n_n$
Ángulo crítico $\theta_c$	$\approx 69^{\circ}$	$\arcsin(0,9333)$
Ángulo límite con el eje dentro del núcleo	$\approx 21^{\circ}$	$90^{\circ}-\theta_c$
Apertura numérica AN	$\approx 0,54$	$\sqrt{n_n^2-n_r^2}=\sqrt{0,29}$
Ángulo de aceptación $\theta_a$	$\approx 32,6^{\circ}$	$\arcsin(0,5385)$
Cono de aceptación $2\theta_a$	$\approx 65,2^{\circ}$	Doble del ángulo de aceptación

Diagrama

flowchart LR
  A[Rayo incidente en el aire<br/>ángulo θ_a ≤ 32,6°] -->|refracción en la cara de entrada<br/>n₁ sin θ_a = n_n sen θ_r| B[Núcleo, n_n = 1,5]
  B -->|reflexión total interna<br/>θ ≥ θ_c ≈ 69°| C[Recubierta, n_r = 1,4]
  B -->|θ < θ_c, se escapa la luz| D[Señal perdida]

Fórmulas y ecuaciones

$\theta_{c}=\arcsin\left(@@MATH_0@@\right)$

$\text{AN}$ = $\sqrt{n_{n}^{2}-n_{r}^{2}}$

$\theta_{a}=\arcsin\left(@@MATH_0@@\right)\$ $\text{(con }$ $n_{aire}=1$ $\text{)}$

$\sin\theta_{c}=$ $\frac{n_{r}}{n_{n}}$

$\theta_{c}=\arcsin\left(@@MATH_0@@\right)$

$n_{aire}\$ , $\text{sen}@@MATH_0@@\,\theta_{r}$

$\text{AN}@@MATH_0@@\,\theta_{a}=$ $\sqrt{n_{n}^{2}-n_{r}^{2}}$

$\theta_{r}=90^{\circ}-\theta_{c}$

$\theta_{a}\approx$ $32,6^{\circ}$

Glosario (7)

Fibra óptica: Hilo de vidrio o plástico que transmite información codificada en pulsos de luz mediante reflexión total interna en su núcleo.
Núcleo: Parte central de la fibra óptica por donde se propagan los rayos de luz; en este problema tiene índice $n_n = 1,5$.
Recubierta (cladding): Capa que rodea al núcleo, con índice de refracción menor ($n_r = 1,4$), que permite la reflexión total interna.
Ángulo crítico: Ángulo de incidencia mínimo en una interfaz de índice mayor a menor para que ocurra reflexión total interna: $\sin\theta_c = n_2/n_1$.
Reflexión total interna: Reflejo completo de un rayo en la interfaz entre dos medios cuando el ángulo de incidencia supera el ángulo crítico.
Cono de aceptación: Cono de ángulos de incidencia (respecto al eje) en los cuales los rayos entran a la fibra y quedan atrapados por reflexión total interna.
Apertura numérica (AN): Seno del ángulo de aceptación medido en el aire: $\text{AN} = \sqrt{n_n^2 - n_r^2}$. Capacidad de la fibra para captar luz.

Preguntas para practicar

¿Por qué la recubierta de la fibra óptica debe tener un índice de refracción menor que el del núcleo?

Para que la luz que llega al núcleo encuentre una interfaz hacia un medio ópticamente menos denso, de modo que pueda ocurrir reflexión total interna. Si el índice de la recubierta fuera mayor, no existiría ángulo crítico y la luz se saldría de la fibra, perdiendo la señal.

Temas y conceptos clave

Reflexión total internaFibra ópticaCono de aceptaciónApertura numéricaLey de Snellíndice de refracción del núcleoíndice de refracción de la recubiertaángulo críticoreflexión total internaconeo de aceptaciónapertura numérica (AN)rayo límite

Fuentes y referencias

https://acortar.link/ptF7sL (imagen de referencia del cable de fibra óptica)

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Preguntas que la gente también hace

¿Qué es el ángulo crítico en una fibra óptica y cómo se calcula?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué es el cono de aceptación de una fibra óptica?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se relaciona el índice de refracción del núcleo y la recubierta con la reflexión total interna?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Ley de Snell (refracción)
• Definición de índice de refracción
• Ángulo crítico y reflexión total interna
• Identidades trigonométricas básicas (sen y cos)

Siguiente tema sugerido

Atenuación y dispersión en fibras ópticas; aplicaciones de la reflexión total interna en espejos prismáticos y óptica médica

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Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

La velocidad de internet y de transferencia de datos depende del medio de la transmisión de datos digitales que se realiza por medio de ondas de luz. La información codificada se realiza de manera eficaz en un haz de luz a través de un tubo de vidrio o plástico.

Los rayos se propagan en el núcleo de la fibra, con un indice n, = 1,5. Por otro lado, la recubierta de dicho material posee un indice de refracción n=1,4:

Determino el cono de aceptación de la fibra, es decir, ¿qué ángulos deben tener los rayos incidentes en la fibra para quedar atrapados en su interior?

( y

Fuente: https://acortar.link/ptF7sL

Texto de Física \ 491

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