b
Un surfista observa olas en la Isla San Cristóbal (Galápagos) con estos datos: altura promedio de las olas 1{,}5\ \text{m}, rompen cada 7\ \text{s} y su rapidez es de 30\ \text{km/h}.
i) Determino si la ola es longitudinal o transversal
- En una onda transversal el desplazamiento del medio es perpendicular a la dirección de propagación; en una onda longitudinal es paralela (como el sonido).
- En las olas del océano, la superficie del agua sube y baja mientras la onda avanza hacia la playa: las partículas de agua se mueven verticalmente y la energía viaja horizontalmente.
- Además, la ola se puede describir con un perfil senoidal (crestas y valles), característica de las ondas transversales.
Es una onda transversal.
ii) Calculo la longitud de la onda
- Convertimos la rapidez a unidades SI:
v = 30\ \text{km/h} = 30\ \times\ \frac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}} = 8{,}33\ \text{m/s}
- El tiempo entre olas sucesivas es el periodo: T = 7\ \text{s}.
- Aplicamos v = \frac{\lambda}{T}, es decir \lambda = v \cdot T:
\lambda = 8{,}33\ \text{m/s} \times 7\ \text{s} = 58{,}3\ \text{m}
- Comprobación de la frecuencia: f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{7\ \text{s}} \approx 0{,}143\ \text{Hz}, y v = \lambda f = 58{,}3\ \text{m} \times 0{,}143\ \text{Hz} \approx 8{,}33\ \text{m/s}. ✔
\lambda \approx 58{,}3\ \text{m}.
iii) Construyo el modelo matemático para la onda
- Amplitud (la mitad de la altura total):
A = \frac{1{,}5\ \text{m}}{2} = 0{,}75\ \text{m}
- Frecuencia angular:
\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{7\ \text{s}} \approx 0{,}898\ \text{rad/s}
- Número de onda:
k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{58{,}3\ \text{m}} \approx 0{,}108\ \text{rad/m}
- Forma general de una onda senoidal que viaja en la dirección +x: y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx). Sustituyendo:
\boxed{y(x,t) = 0{,}75\ \text{sen}\!\left(0{,}898\,t - 0{,}108\,x\right)\ \text{m}}
con x en metros, t en segundos y y en metros.
- Modelo solo espacial en un instante fijo (por ejemplo t=0, con la cresta en x=0): y(x) = 0{,}75\,\text{sen}\!\left(\dfrac{2\pi x}{58{,}3}\right).
y(x,t) = 0{,}75\,\text{sen}(0{,}898\,t - 0{,}108\,x)\ \text{m}.
iv) Grafico la onda colocando todas sus partes
- El perfil es una senoide de amplitud A = 0{,}75\ \text{m} y longitud de onda \lambda = 58{,}3\ \text{m}.
- Cota máxima (cresta): y = +0{,}75\ \text{m}; cota mínima (valle): y = -0{,}75\ \text{m}.
- La altura total (cresta a valle) es 2A = 1{,}5\ \text{m}, igual al dato dado.
- Posiciones de los máximos y mínimos a partir de x=0:
| Punto | Posición x\ (\text{m}) | Desplazamiento y\ (\text{m}) |
|---|---|---|
| Crecimiento | 14{,}6 | +0{,}75 (aprox., semipic) |
| Crecimiento | 29{,}2 | 0 |
| Crecimiento | 43{,}8 | -0{,}75 |
| Crecimiento | 58{,}3 | 0 |
| Crecimiento | 72{,}9 | +0{,}75 |
- Esquema (una longitud de onda y media):
y(m)
+0,75 | CRESTA CRESTA
| / \ / \
0 | / \_________/ \_____ EJE x
| / / VALLE \ /
-0,75 |/_____/ \__/
|______________________________ x(m)
0 14,6 29,2 43,8 58,3 72,9
←—————— λ = 58,3 m ——————→
- Partes señaladas: crestas (máximos, y=+0{,}75\ \text{m}), valles (mínimos, y=-0{,}75\ \text{m}), línea de equilibrio o eje (y=0), amplitud A = 0{,}75\ \text{m} (distancia de cresta o valle al eje), altura = 2A = 1{,}5\ \text{m}, longitud de onda \lambda = 58{,}3\ \text{m} entre crestas consecutivas, fase y sentido de propagación (+x, hacia la playa).
Senoide de amplitud 0{,}75\ \text{m} y longitud de onda 58{,}3\ \text{m}, con crestas en x = 0,\ 58{,}3,\ 116{,}6\ \text{m},\dots y valles en x = 29{,}2,\ 87{,}5\ \text{m},\dots
