Contexto de la página

La página 192 (sección Juntos leemos) presenta el poema «Armónicos» de Jorge Fernández Granados, tomado de Fernández Granados, J. (2007). Principio de incertidumbre. Ediciones Era. Se usa como texto motivador para el tema de oscilaciones armónicas y resonancia en el texto de Física del BGU de Ecuador.

Idea central del poema

Dos cuerpos que nunca se tocan ni se acercan pueden, sin embargo, coincidir en su vibración: una turbina que cruza el cielo hace vibrar el vidrio de una ventana a distancia. La física explica esa «coincidencia» mediante un número: la frecuencia de oscilación natural de cada sistema, y la existencia de un ritmo (un pulso) que gobierna el comportamiento de las estructuras sin que ellas lo elijan.

Explicación física: por qué dos cuerpos «coinciden sin tocarse»

m\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -k\,x

Cuya solución es una oscilación armónica:

x(t) = A\cos(\omega t + \phi)

\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad f_{0} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}

Esta magnitud es una propiedad del cuerpo (su masa y su rigidez): no la «elige» ni la «comprende», como dice el poema.

m\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + b\,\frac{dx}{dt} + k\,x = F_{0}\cos(2\pi f t)

A = \frac{F_{0}/k}{\sqrt{\left[1-\left(\frac{f}{f_{0}}\right)^{2}\right]^{2} + \left(\frac{b f}{k}\right)^{2}}}

Cuando f \approx f_{0} (la frecuencia del excitar se hace igual a la frecuencia natural del sistema) se cumple la condición de coincidencia: el denominador se hace mínimo y la amplitud se hace máxima. A esto se llama resonancia.

\omega_{-} = \sqrt{\frac{k}{m}} \qquad \omega_{+} = \sqrt{\frac{k+2\kappa}{m}}

En el primer modo ambas masas se mueven juntas («unidos en secreto por un pulso»); en el segundo, en contrafase. La energía se intercambia periódicamente con el tiempo de intercambio:

T_{\text{intercambio}} = \frac{2\pi}{\omega_{+}-\omega_{-}}

Por eso, cuando las frecuencia naturales coinciden, la transferencia de energía es máxima y los cuerpos «vibrar o desplomarse juntos».

Síntesis del poema en términos físicos

Respuesta orientativa al interrogante inicial: sí es posible, porque el sonido (o el viento) que produce la turbina viaja por el aire y, al llegar al vidrio, lo excita con una fuerza periódica. Si la frecuencia de esa fuerza coincide con la frecuencia natural f_{0} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m} del cristal, se produce resonancia: la amplitud del vidrio se hace grande aunque la turbina nunca lo toque. El «punto» donde coinciden es la frecuencia; el «ritmo» es ese pulso común que gobierna a ambos sistemas.