Inducción eléctrica y magnética: leyes aplicadas y dualidad entre casos

¿Qué leyes y ecuaciones se aplicaron para la resolución del Caso 1?

El Caso 1 corresponde al fenómeno de inducción eléctrica: un campo magnético variable (o un imán en movimiento) genera una fuerza electromotriz (f.e.m.) en un circuito cerrado.

1. Ley de Faraday–Henry: la f.e.m. inducida es proporcional a la rapidez de cambio del flujo magnético $ $ \mathcal{E}_{ind} = -N\,\frac{\Delta \Phi_B}{\Delta t}

2. Ley de Lenz: el signo negativo indica que la corriente inducida se opone a la causa que la produce: si aumenta \Phi_B, el campo inducido apunta en sentido opuesto a \vec{B}; si disminuye, es en el mismo sentido.

3. Flujo magnético: para una bobina con N espiras de área A:

\Phi_B = N\,\vec{B}\cdot\vec{A} = N\,B\,A\cos\theta, con \theta el ángulo entre \vec{B} y el vector área \vec{A}.

4. Ley de Ohm: para la corriente inducida en el circuito:

I_{ind} = \frac{\mathcal{E}_{ind}}{R}

5. Potencia eléctrica disipada: P = I_{ind}^{2}R = \frac{\mathcal{E}_{ind}^{2}}{R}.

¿Qué leyes y ecuaciones se aplicaron para la resolución del Caso 2?

El Caso 2 corresponde a la inducción magnética: una corriente eléctrica produce a su vez un campo magnético.

1. Ley de Ampère: el campo magnético generado por una corriente es proporcional a la corriente que lo produce:

\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{env}

2. Campo magnético de un conductor rectilíneo largo: a distancia r del cable,

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}, con \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\text{T}\cdot\text{m}/\text{A}.

3. Campo de un solenoide: dentro del solenoide,

B = \mu_0 n I, con n = N/L el número de espiras por unidad de longitud.

4. Fuerza sobre una carga en movimiento (fuerza de Lorentz): \vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}, y para un conductor: F = I\,\vec{l}\times\vec{B}.

5. Fuerza entre dos conductores paralelos: \frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}.

¿En qué caso la corriente crea un campo magnético? Argumento mi respuesta.

Respuesta orientativa: La corriente crea un campo magnético en el Caso 2, porque allí la fuente del fenómeno es la corriente eléctrica: por la ley de Ampère, toda corriente va acompañada de un campo magnético que se curva alrededor del conductor (según la regla de la mano derecha) y cuya magnitud es B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} o B = \mu_0 n I en el solenoide. Es decir, el campo es consecuencia de la corriente: sin corriente no hay campo magnético asociado al circuito.

¿En qué caso el campo magnético crea corriente eléctrica?

Respuesta orientativa: En el Caso 1, porque allí el campo magnético es variable en el tiempo (o se mueve respecto de la bobina), lo que produce un cambio del flujo \Phi_B. Por la ley de Faraday–Henry aparece una f.e.m. inducida \mathcal{E}_{ind} = -N\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}, que, al cerrarse el circuito, impulsa una corriente I_{ind} = \mathcal{E}_{ind}/R. Por el signo negativo (ley de Lenz), esa corriente se opone al cambio de flujo que la originó.

Dos semejanzas y dos diferencias entre los casos 1 y 2, con base en la dualidad de inducción eléctrica y magnética.

Semejanzas

1. Ambos fenómenos ocurren entre un campo y una corriente, y ambos se explican por las ecuaciones de Maxwell: son las dos caras de la interacción electromagnética (un campo eléctrico variable produce campo magnético y un campo magnético variable produce campo eléctrico).

2. En los dos casos la relación entre causa y efecto es cuantitativa: en el Caso 1 \mathcal{E}_{ind} = -N\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}, y en el Caso 2 B = \mu_0 n I; en ambos, magnitudes proporcionales y medibles.

Diferencias

1. La dirección de la causalidad se invierte: en el Caso 1 el campo magnético variable produce corriente (inducción eléctrica, Faraday–Henry), mientras que en el Caso 2 la corriente produce el campo magnético (inducción magnética, Ampère).

2. Las magnitudes de trabajo son distintas: en el Caso 1 se calcula una f.e.m. y una corriente inducida dentro de un circuito cerrado (aparece el signo de Lenz y se requiere resistencia R); en el Caso 2 se calcula la magnitud y dirección del campo \vec{B} y las fuerzas magnéticas sobre cargas o conductores, y no es necesario un circuito cerrado.