Enunciado: Calculo el flujo a través de la superficie de un disco de radio 5\ \text{cm}, colocado perpendicularmente y centrado en el eje del solenoide.

1. El flujo magnético se define como \Phi = \int \vec{B}\cdot d\vec{A}; si \vec{B} es perpendicular a la superficie y constante sobre ella, \Phi = B\,A.
2. Para un solenoide largo e ideal, el campo en el interior es B = \mu_0\, n\, I (\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}, n = vueltas por metro, I = corriente), mientras que fuera del solenoide B \approx 0.
3. El disco tiene radio R_{disco} = 5\ \text{cm} = 5\times 10^{-2}\ \text{m}, que es mayor que el radio del solenoide (del orden de 2\ \text{cm}). Por lo tanto, el disco captura todo el campo del solenoide, pero nada más: el flujo es el que atraviesa la sección transversal del solenoide.
4. Así, con R_s el radio del solenoide y A_s = \pi R_s^2 su área: \Phi = B\,A_s = \mu_0\, n\, I\, \pi R_s^2
5. Sustituyendo con R_s = 2\ \text{cm} = 2\times10^{-2}\ \text{m} (valor de la sección transversal del solenoide): A_s = \pi (2\times10^{-2})^2 = 1.26\times10^{-3}\ \text{m}^2 \Phi = (4\pi\times10^{-7})(10^{3}) I (1.26\times10^{-3}) \approx 1.58\times10^{-6}\, I\ \text{Wb} Es decir, el flujo es proporcional a la corriente I del solenoide (cuyo valor específico pertenece al texto de la página 196).

Enunciado: En la sección circular del extremo del solenoide, calculo el flujo a través del área definida por un anillo de radio interno r_i = 0{,}4\ \text{cm} y radio externo r_e = 0{,}8\ \text{cm}.

1. El área del anillo es la diferencia de dos círculos: A_{anillo} = \pi r_e^2 - \pi r_i^2 = \pi\left(r_e^2 - r_i^2\right).
2. Convertimos a metros: r_i = 0{,}4\ \text{cm} = 4\times10^{-3}\ \text{m} y r_e = 0{,}8\ \text{cm} = 8\times10^{-3}\ \text{m}.
3. Calculamos los cuadrados: r_i^2 = 1.6\times10^{-5}\ \text{m}^2 y r_e^2 = 6.4\times10^{-5}\ \text{m}^2.
4. Sustituimos en el área: A_{anillo} = \pi\left(6.4\times10^{-5} - 1.6\times10^{-5}\right) = \pi\left(4.8\times10^{-5}\right) = 1.51\times10^{-4}\ \text{m}^2
5. Como el anillo es pequeño y está en la sección del extremo del solenoide, se puede considerar B constante y uniforme sobre él. Entonces: \Phi = B\,A_{anillo} = B\,\pi\left(r_e^2 - r_i^2\right) = 1.51\times10^{-4}\, B\ \text{Wb}
6. Usando B = \mu_0 n I: \Phi = (4\pi\times10^{-7})(10^3) I (1.51\times10^{-4}) \approx 1.90\times10^{-7}\, I\ \text{Wb}

Enunciado: Un solenoide de radio 2\ \text{cm} y n = 1\times10^{3} vueltas/m está rodeado por una bobina de radio 10\ \text{cm} y N = 15 vueltas. La corriente varía como I = 5\,\text{A}\,\text{sen}(120t). Determino la f.e.m inducida en la bobina en función del tiempo. (Fuente: Serway, 2008.)

1. El campo dentro del solenoide es uniforme y paralelo a su eje: B = \mu_0\, n\, I = (4\pi\times10^{-7})(10^{3})(5\,\text{sen}(120t)) B = 20\pi\times10^{-4}\,\text{sen}(120t) = 6.28\times10^{-3}\,\text{sen}(120t)\ \text{T}
2. Punto clave: el campo de un solenoide largo es prácticamente nulo fuera de él (B\approx 0). Por eso, aunque la bobina externa tenga radio 10\ \text{cm}, solo el flujo atravesado por la sección del solenoide (radio a = 2\ \text{cm}) contribuye al flujo enlazado.
3. Flujo enlazado con una vuelta de la bobina: \Phi_1 = B\,A_{solenoide} = B\,\pi a^2 = B\,\pi(0{,}02)^2 = B\,(1.26\times10^{-3})\ \text{Wb}
4. Flux total enlazado con las N = 15 vueltas (el flujo total es N veces el de una vuelta, ya que todas enlazan el mismo campo): \Phi = N\,\mu_0\, n\, I\, \pi a^2 = 15(6.28\times10^{-3})(1.26\times10^{-3})\,\text{sen}(120t) \Phi = 1.185\times10^{-4}\,\text{sen}(120t)\ \text{Wb}
5. Aplicamos la ley de Faraday, \mathcal{E} = -\dfrac{d\Phi}{dt}: \frac{d\Phi}{dt} = 1.185\times10^{-4}\cdot 120\,\cos(120t) = 1.42\times10^{-2}\,\cos(120t)\ \text{Wb/s}
6. Entonces la f.e.m inducida es: \mathcal{E}(t) = -1.42\times10^{-2}\,\cos(120t)\ \text{V} = -14.2\,\cos(120t)\ \text{mV}
7. Análisis: la f.e.m es una onda cosinusoidal (derivada de la senoide), de amplitud \mathcal{E}_{max} = N\mu_0 n (\pi a^2) I_0\omega = 1{,}42\times10^{-2}\ \text{V} y frecuencia angular \omega = 120\ \text{rad/s} (frecuencia f = \omega/2\pi \approx 19{,}1\ \text{Hz}). El signo negativo obedece a la ley de Lenz: la f.e.m inducida se opone al cambio de flujo.

Verificación rápida de unidades y orden de magnitud

• [\mu_0 n I] = \text{T}, [\pi a^2] = \text{m}^2, por tanto [\Phi] = \text{Wb} y [d\Phi/dt] = \text{V}: unidades correctas.
• \mathcal{E}_{max} = 15 \times 4\pi\times10^{-7} \times 10^3 \times 5 \times \pi(0{,}02)^2 \times 120 = 1{,}42\times10^{-2}\ \text{V}, en el orden de milivoltios, razonable para un acoplamiento débil entre solenoide y bobina.