Caso 1: solenoide de 2,5 cm de diámetro, 30 cm de largo, 300 vueltas e I = 12 A. Determinar campo magnético interno, flujo por espira e inductancia.

B≈0,151 T; ≈7,41×10^-5 Wb; L_ind≈0,185 mH

Libro de Física 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Actividades: f.e.m. inducida en una espira y campo en un solenoide

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1.b) $\Phi(t)=(0,17t^{2}-0,68t)\,\text{Wb}$ . 1.c) $\varepsilon(t)=(0,68-0,34t)\,\text{V}$ . 1.d) $\Phi\approx-0,098\,\text{Wb}$ , $\varepsilon=0,629\,\text{V}$ . Caso 1: $B\approx0,151\,\text{T}$ , $\Phi\approx7,41\times10^{-5}\,\text{Wb}$ , $L\approx0,185\,\text{mH}$ .

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Solución — Página 196

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 1

Enunciado: En una región del espacio hay un campo magnético artificial cuyo módulo varía con el tiempo según $B(t)=t^{2}-4t\;[\text{T}]$ . Sobre esa región se coloca una espira de área $S=0,17\;\text{m}^{2}$ , con el campo perpendicular a su plano. Se pide: a) diagrama, b) flujo en función del tiempo, c) f.e.m. inducida en función del tiempo, d) flujo y f.e.m. para $t=0,15\;\text{s}$ .

Parte 1.a

Se dibuja la espira (círculo o cuadrado de área $S$ ) dentro de una región con campo $\vec{B}$ saliendo perpendicularmente del plano de la espira (flechas normales al plano), con el vector área $\vec{S}$ paralelo a $\vec{B}$ .

Respuesta

Diagrama descriptivo: espira plana con $\vec{B}\perp$ plano y $\vec{B}\parallel\vec{S}$ .

Parte 1.b

Flujo magnético: $\Phi=\vec{B}\cdot\vec{S}=B\,S\cos\theta$ . Como $\vec{B}\perp$ al plano de la espira, $\theta=0^\circ$ y $\cos 0^\circ=1$ .

Sustituyo: $\Phi(t)=B(t)\cdot S\cdot 1=(t^{2}-4t)(0,17)$ .
Desarrollo: $\Phi(t)=0,17t^{2}-0,68t$ .

Respuesta

$\Phi(t)=\left(0,17t^{2}-0,68t\right)\;\text{Wb}$ (o $(t^{2}-4t)\cdot0,17$ Wb).

Parte 1.c

Ley de Faraday: $\varepsilon=-\dfrac{d\Phi}{dt}$ .

Derivo: $\dfrac{d\Phi}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left(0,17t^{2}-0,68t\right)=0,34t-0,68$ .
Aplico el signo menos: $\varepsilon(t)=-(0,34t-0,68)=0,68-0,34t$ .

Respuesta

$\varepsilon(t)=\left(0,68-0,34t\right)\;\text{V}$ (valor absoluto $|\varepsilon|=|0,68-0,34t|$ V).

Parte 1.d

Campo en $t=0,15\;\text{s}$ : $B(0,15)=(0,15)^{2}-4(0,15)=0,0225-0,6=-0,5775\;\text{T}$ .
Flujo: $\Phi=B\cdot S=(-0,5775)(0,17)=-0,098175\;\text{Wb}\approx -9,82\times10^{-2}\;\text{Wb}$ .
F.e.m.: $\varepsilon(0,15)=0,68-0,34(0,15)=0,68-0,051=0,629\;\text{V}$ .

Respuesta

$\Phi(0,15)\approx-0,098\;\text{Wb}$ y $\varepsilon(0,15)=0,629\;\text{V}$ .

Ejercicio 2

(Caso 1)

Enunciado: Solenoide de diámetro $d=2,5\;\text{cm}$ y longitud $L=30\;\text{cm}$ , con $N=300$ vueltas e $I\approx12\;\text{A}$ (Serway, 2008). Se determinan el campo interno, el flujo y la inductancia.

Datos en unidades SI: $d=0,025\;\text{m}\Rightarrow r=0,0125\;\text{m}$ ; $L=0,30\;\text{m}$ .
Densidad de espiras: $n=\dfrac{N}{L}=\dfrac{300}{0,30}=1000\;\text{vuelas/m}$ .
Área de sección: $A=\pi r^{2}=\pi(0,0125)^{2}=4,909\times10^{-4}\;\text{m}^{2}$ .
Campo dentro del solenoide: $B=\mu_{0}nI=(4\pi\times10^{-7})(1000)(12)=0,048\pi\approx0,151\;\text{T}$ .
Flujo a través de una espira: $\Phi=B\,A=(0,151)(4,909\times10^{-4})\approx7,41\times10^{-5}\;\text{Wb}$ .
Inductancia: $L_{ind}=\dfrac{\mu_{0}N^{2}A}{L}=\dfrac{(4\pi\times10^{-7})(300)^{2}(4,909\times10^{-4})}{0,30}\approx1,85\times10^{-4}\;\text{H}=0,185\;\text{mH}$ .

Respuesta

$B\approx0,151\;\text{T}$ , $\Phi\approx7,41\times10^{-5}\;\text{Wb}$ por espira, $L_{ind}\approx0,185\;\text{mH}$ .

Contenido de la página

ACTIVIDADES

1. Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

En una región del espacio se encuentra un campo magnético generado de manera artificial; el módulo varía en función del tiempo mediante la siguiente ecuación o modelo matemático: $B(t)=t^{2}-4t\;[\text{T}]$ . Sobre esta región se coloca una espira de $S=0,17\;\text{m}^{2}$ , de tal forma que el campo magnético es perpendicular al plano de la espira.

a) Realizo un diagrama de la situación planteada.
b) Calculo el flujo del campo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo.
c) Calculo la f.e.m. inducida en la espira en función del tiempo.
d) Calculo el flujo del campo y la f.e.m. para $0,15$ segundos.

2. Resuelvo los ejercicios del Caso 1 y Caso 2.

CASO 1:

Un solenoide de $2,5\;\text{cm}$ de diámetro y $30\;\text{cm}$ de largo tiene $300$ vueltas y transporta aproximadamente $12\;\text{A}$ . (Serway, 2008).

El diagrama muestra el solenoide con la corriente $I$ entrando por un extremo y saliendo por el otro, y una vista de sección con el radio $1,25\;\text{cm}$ del conductor interno. Fuente de la imagen: https://n9.cl/4qvzh

Ejemplos resueltos

Caso 1: solenoide de diámetro 2,5 cm, largo 30 cm, 300 vueltas e I = 12 A. Determinar campo interno, flujo por espira e inductancia.

$n=300/0,30=1000$ vueltas/m. 2) $A=\pi(0,0125)^{2}=4,91\times10^{-4}\;\text{m}^{2}$ . 3) $B=\mu_0nI=1,26\times10^{-6}\cdot1000\cdot12\approx0,151\;\text{T}$ . 4) $\Phi=BA\approx7,41\times10^{-5}\;\text{Wb}$ . 5) $L_{ind}=\mu_0N^2A/L\approx0,185\;\text{mH}$ .

Tabla

Magnitud	Expresión	Valor para t = 0,15 s
Campo magnético	$B(t)=t^{2}-4t$	$-0,5775\;\text{T}$
Flujo	$\Phi(t)=0,17t^{2}-0,68t$	$-0,098\;\text{Wb}$
F.e.m. inducida	$\varepsilon(t)=0,68-0,34t$	$0,629\;\text{V}$

Caso 1 (solenoide)	Magnitud	Valor
Densidad de espiras	$n=N/L$	$1000\;\text{vuetas/m}$
Área de sección	$A=\pi r^{2}$	$4,91\times10^{-4}\;\text{m}^{2}$
Campo interno	$B=\mu_{0}nI$	$0,151\;\text{T}$
Flujo por espira	$\Phi=BA$	$7,41\times10^{-5}\;\text{Wb}$
Inductancia	$L=\mu_{0}N^{2}A/L$	$0,185\;\text{mH}$

Diagramas (2)

flowchart LR
  subgraph Región con campo variable
    E["Espir\u00faa, S = 0,17 m²"]
    B1["B = t² \u2212 4t [T]\n\u2192 perpendicular al plano"]
    E --- B1
  end

flowchart LR
  subgraph Solenoide
    C["Corriente I = 12 A"] --> S1["300 vueltas, L = 30 cm"]
    S1 --> Bin["B interior = μ₀ n I ≈ 0,151 T"]
    Bin --> Phi["Φ por espira ≈ 7,41×10⁻⁵ Wb"]
    Phi --> Lind["Inductancia ≈ 0,185 mH"]
  end

Fórmulas y ecuaciones

$\Phi=@@MATH_0@@\cdot@@MATH_1@@=B\,S\cos\theta$

$\varepsilon=-$ $\frac{d\Phi}{dt}$

$B=\mu_{0}nI,\;n=$ $\frac{N}{L}$

$L_{ind}=$ $\frac{\mu_{0}N^{2}A}{L}$

$\Phi(t)=(0,17t^{2}-0,68t)\$ ; $\text{Wb}$

$\varepsilon(t)=-@@MATH_0@@=0,68-0,34t\$ ; $\text{V}$

$\Phi(0{,}15)=(0{,}15)^{2}-4(0{,}15)\cdot0{,}17\approx-0{,}098\$ ; $\text{Wb}$

$\varepsilon(0{,}15)=0{,}68-0{,}34(0{,}15)=0{,}629\$ ; $\text{V}$

$B=\mu_{0}@@MATH_0@@I\approx0{,}151\$ ; $\text{T}$

$L_{ind}=@@MATH_0@@\approx1{,}85\times10^{-4}\$ ; $\text{H}$

Glosario (5)

Flujo magnético (Φ): Número de líneas de campo que atraviesan una superficie; se calcula como Φ = B·S·cosθ y se mide en weber (Wb).
F.e.m. inducida: Diferencia de potencial generada en un circuito cuando varía el flujo magnético que lo atraviesa; ε = −dΦ/dt (voltios).
Solenoide: Bobina de alambre enrollado en forma de espira con varias vueltas; genera un campo casi uniforme en su interior cuando circula corriente.
Densidad de espiras (n): Número de vueltas por unidad de longitud del solenoide: n = N/L, en vueltas por metro.
Inductancia (L): Capacidad de un circuito para oponerse a los cambios de su flujo magnético, medida en henrys (H).

Preguntas para practicar

a) ¿Cómo se dibuja la situación de la actividad 1?

Se representa la espira (círculo de área S) con el vector campo B saliendo perpendicularmente de su plano y el vector área S en la misma dirección; como ambos son paralelos, el flujo es máximo.

¿Qué papel juega el signo negativo de la ley de Faraday?

Indica la dirección de la f.e.m. inducida (regla de Lenz): se opone a la variación del flujo que la origina; el signo positivo de ε = 0,629 V a t = 0,15 s significa que el flujo, decreciendo, genera un sentido de corriente que intenta mantenerlo.

Resuelvo los ejercicios del Caso 1 y Caso 2. ¿Cuál es el campo en el interior del solenoide del Caso 1?

Con n = 1000 vueltas/m e I = 12 A, B = μ₀nI ≈ 0,151 T, un campo casi uniforme en el interior y muy débil fuera del solenoide.

Temas y conceptos clave

Ley de FaradayFlujo magnético en función del tiempoF.e.m. inducidaSolenoide: campo, flujo e inductanciaflujo magnético $Φ = B S cos θley de Faraday ε = −dΦ/dtcampo magnético variable B(t) = t² − 4tdensidad de espiras n = N/LB = μ₀ n I en el interior de un solenoideinductancia L = μ₀ N² A / L

Fuentes y referencias

Serway, R. — Física para ciencias e ingeniería (2008), solenoide y campo magnético interno
https://n9.cl/4qvzh (imagen del solenoide)

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el flujo magnético si el campo es perpendicular al plano de la espira?

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¿Qué significa el signo negativo en la f.e.m. inducida según la ley de Faraday?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se determina el campo magnético dentro de un solenoide a partir de N, L e I?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Derivadas simples de funciones polinómicas
• Concepto de vector área y de flujo $Φ = B S · cos θ
• Permeabilidad del vacío $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} ·T·m/A
• Unidades SI de campo magnético, flujo y f.e.m.

Siguiente tema sugerido

Caso 2 del solenoide (probablemente f.e.m. inducida al variar la corriente) y autóinducción en circuitos

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"ACTIVIDADES )

Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

En una región del espacio se encuentra un campo magnético generado de manera artificial; el módulo varía en función del tiempo mediante la siguiente ecuación o modelo matemático: B(t)=t -4t [T]. Sobre esta región se coloca una espira de S=0,17 m?, de tal forma que el campo magnético es perpendicular al plano de la espira.

a) Realizo un diagrama de la situación planteada.

b) Calculo el flujo del campo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo. c) Calculo la f.e.m inducida en la espira en función del tiempo.

d) Calculo el flujo del campo y la f.e.m para 0,15 segundos.