Una cuerda metálica de densidad lineal \mu = 3\times10^{-3}\ \text{kg/m}, tensión T = 267\ \text{N} y longitud L = 64\ \text{cm} = 0,64\ \text{m} vibra en su modo fundamental dentro de un imán que produce B = 4,50\ \text{mT} sobre un tramo l = 2\ \text{cm} = 0,02\ \text{m}. La amplitud de la sección de la cuerda que está en el campo es A = 1,5\ \text{cm} = 0,015\ \text{m}.
Frecuencia de vibración
- Velocidad de propagación de la onda en la cuerda: v = \sqrt{\dfrac{T}{\mu}} = \sqrt{\dfrac{267}{3\times10^{-3}}} = \sqrt{89\,000} \approx 298,3\ \text{m/s}.
- En el modo fundamental la longitud de onda cumple \lambda = 2L: \lambda = 2(0,64\ \text{m}) = 1,28\ \text{m}.
- Frecuencia fundamental: f_1 = \dfrac{v}{\lambda} = \dfrac{298,3}{1,28} \approx 233,1\ \text{Hz}.
- Verificación con la fórmula directa: f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{\mu}} = \dfrac{1}{1,28}\sqrt{89\,000} \approx 233\ \text{Hz} (nota: si bemol, \text{B}\flat_3).
f_1 \approx 233\ \text{Hz}.
Amplitud de la fuerza electromotriz inducida
- El tramo l de la cuerda se mueve perpendicularmente a B, de modo que la fem motriz vale \varepsilon = B\,l\,v\,\sin\theta con \theta = 90^\circ: \varepsilon(t) = B\,l\,v(t).
- En SHM la velocidad máxima es v_{máx} = \omega A = 2\pi f A.
- Sustituyendo: v_{máx} = 2\pi (233,1\ \text{Hz})(0,015\ \text{m}) \approx 21,97\ \text{m/s}.
- Amplitud de la fem: \varepsilon_0 = B\,l\,v_{máx} = (4,50\times10^{-3}\ \text{T})(0,02\ \text{m})(21,97\ \text{m/s}).
- \varepsilon_0 = 1,98\times10^{-3}\ \text{V} \approx 2,0\ \text{mV}.
- Valor eficaz: \varepsilon_{eficaz} = \dfrac{\varepsilon_0}{\sqrt{2}} \approx 1,4\ \text{mV}.
\varepsilon_0 \approx 1,98\ \text{mV}.
Rango de frecuencias de las cuerdas de una guitarra
Tabla resumen con la afinación estándar (cada cuerda afinada al mismo f que una tecla del piano):
| Cuerda | Nota | f (Hz) | Tensión típica (N) | Diámetro (mm) |
|---|---|---|---|---|
| 1.ª (mi alta) | E4 | 329,63 | 74 | 0,25 |
| 2.ª (si) | B3 | 246,94 | 64 | 0,32 |
| 3.ª (sol) | G3 | 196,00 | 47 | 0,41 |
| 4.ª (re) | D3 | 146,83 | 42 | 0,61 |
| 5.ª (la) | A2 | 110,00 | 43 | 0,81 |
| 6.ª (mi grave) | E2 | 82,41 | 46 | 1,12 |
El rango abarca aproximadamente 82\ \text{Hz} (E2) a 330\ \text{Hz} (E4); la frecuencia fundamental calculada (233\ \text{Hz}) cae dentro de ese rango, entre la 2.ª y la 3.ª cuerda.
Parámetros que deben variarse para recrear el instrumento
Como f = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}, para detectar si una cuerda está afinada hay que variar:
- Tensión T, que es la variable de ajuste real (clavijas), ya que f \propto \sqrt{T}.
- Longitud L activa, que cambia con la posición de los dedos sobre el diapasón.
- Densidad lineal \mu, propia de cada cuerda (distinto material y calibre).
- Parámetros de la detección magnética: B, longitud l del tramo en el campo y la distancia entre imán y cuerda, para garantizar una fem medible.
El instrumento funcionaría comparando la fem inducida (\varepsilon_0 \propto B\,l\,f\,A) con la de una referencia afinada: una frecuencia correcta produce el valor esperado.
¿Inducción eléctrica o campo magnético producido por corriente?
Es más fácil construirlo por inducción electromagnética. La cuerda metálica vibrante en el campo estático de un imán genera por sí sola una fem senoidal cuya frecuencia es exactamente la de vibración de la cuerda; basta un imán, un voltímetro o un osciloscopio, sin fuente de energía ni electrónica adicional.
Generar un campo magnético con corriente para distinguir las ondas requeriría una fuente de señal, un amplificador, una bobina y un sistema de detección (micrófono o transductor), lo que hace el diseño más complejo y con mayor margen de error en el nivel de voltaje.
la inducción electromagnética en la cuerda es más simple, precisa y directa.
