Ejercicio 4: Cuerda metálica en campo magnético - Afinador de guitarra
4. Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:
Una estudiante de ingeniería está probando una teoría sobre encordar una guitarra y para ello une una cuerda metálica flexible con densidad lineal de \mu \approx 3 \times 10^{-3}\,\text{kg/m} entre dos puntos fijos, a 64 cm de distancia, aplicando una tensión aproximada de 267 N. Conecta un voltímetro entre los extremos de la cuerda metálica y un imán a través de la cuerda, como se puede ver en el esquema. El imán no toca la cuerda (de datos previos se sabe que el imán produce un campo magnético de 4,50 mT a lo largo de un tramo de 2 cm de largo en el centro de la cuerda). Si se toca una de las cuerdas de manera muy delicada de manera que vibre a una frecuencia muy baja (fundamental), la sección de la cuerda en el campo magnético se mueve perpendicularmente al campo con una amplitud uniforme de 1,5 cm.
Fuente: (Serway, 2008).
a) Determino la frecuencia.
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{267}{3 \times 10^{-3}}} = \sqrt{89000} \approx 298{,}3\,\text{m/s}
f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{298{,}3}{2 \times 0{,}64} \approx 233\,\text{Hz}
[Espacio para desarrollo]
b) Determino la amplitud de la fuerza electromotriz inducida en los extremos de la cuerda.
v_{\max} = A \cdot 2\pi f_1 = 0{,}015 \times 2\pi \times 233 \approx 21{,}97\,\text{m/s}
\varepsilon_{\max} = B \cdot l \cdot v_{\max} = 4{,}50 \times 10^{-3} \times 0{,}02 \times 21{,}97 \approx 2{,}0\,\text{mV}
[Espacio para desarrollo]
c) Investigo un rango de frecuencia para cada una de las cuerdas de una guitarra y genero una tabla resumen.
[Tabla en blanco para las 6 cuerdas: E2≈82 Hz, A2≈110 Hz, D3≈147 Hz, G3≈196 Hz, B3≈247 Hz, E4≈330 Hz]
d) A partir del experimento realizado, indico ¿qué parámetros deberían variar para poder recrear un instrumento que permita saber si una guitarra se encuentra afinada en cada una de sus cuerdas?
[Espacio para desarrollo: Tensión T, densidad lineal μ, longitud L. Ajustando T se puede variar f. El voltímetro indicará la frecuencia de vibración.]
e) Describo si resultaría más fácil recrear el instrumento casero para afinar las cuerdas generando una inducción eléctrica o, simplemente, mediante una corriente, generar un campo magnético que permita distinguir las ondas sonoras.
[Espacio para desarrollo]
