Una caja se desplaza d = 20\,\text{m} horizontalmente bajo una fuerza F = 40\,\text{N}. Calcular el trabajo realizado por la fuerza en dos casos.

Fórmula general:

W = F \cdot d \cdot \cos\varphi

1. Como la fuerza es horizontal, forma un ángulo \varphi = 0^\circ con el desplazamiento.
2. Sustituyo: W = 40\,\text{N} \times 20\,\text{m} \times \cos 0^\circ = 800\,\text{N} \cdot \text{m} \times 1.
3. Como 1\,\text{N} \cdot \text{m} = 1\,\text{J}:

W = 800\,\text{J}

1. Ahora \varphi = 30^\circ respecto de la horizontal y \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866.
2. Sustituyo en la fórmula:

W = F \cdot d \cdot \cos 30^\circ = 40\,\text{N} \times 20\,\text{m} \times \frac{\sqrt{3}}{2}

3. Opero:

W = 800\,\text{N} \cdot \text{m} \times 0{,}866 = 692{,}8\,\text{J} \approx 400\sqrt{3}\,\text{J}

Comparación: al tirar con ángulo, solo actúa la componente F\cos\varphi en el sentido del movimiento, por lo que el trabajo es menor que en el caso horizontal.

Determinar la potencia necesaria de una grúa para levantar un coche de 2{,}5 toneladas a una altura de 30\,\text{m} en 2 minutos.

1. Paso las magnitudes a unidades del SI:

m = 2{,}5\,\text{t} = 2500\,\text{kg}, \qquad t = 2\,\text{min} = 120\,\text{s}

2. El trabajo que realiza la grúa es igual al trabajo contra la gravedad (la velocidad final es despreciable):

W = m \cdot g \cdot h = 2500\,\text{kg} \times 10\,\text{m/s}^{2} \times 30\,\text{m} = 750\,000\,\text{J}

3. Defino la potencia como el trabajo por unidad de tiempo:

P = \frac{W}{t} = \frac{750\,000\,\text{J}}{120\,\text{s}}

4. Resuelvo:

P = 6250\,\text{W} = 6{,}25\,\text{kW}

Un bloque de m = 5\,\text{kg} se deja caer desde una rampa de h = 5\,\text{m}, recorre un tramo rugoso de d = 4\,\text{m} y finalmente comprime un resorte de constante k = 2000\,\text{N/m} en x = 50\,\text{cm} = 0{,}5\,\text{m}. Calcular el coeficiente de rozamiento \mu del tramo rugoso (g = 10 m/s²).

1. Aplico el principio de conservación de energía: la energía mecánica inicial es igual a la energía disipada por fricción más la energía elástica almacenada en el resorte (velocidad final nula):

mgh = \mu \, m g \, d + \frac{1}{2} k x^{2}

2. Calculo la energía inicial (potencial gravitatoria):

E_{i} = mgh = 5\,\text{kg} \times 10\,\text{m/s}^{2} \times 5\,\text{m} = 250\,\text{J}

3. Calculo la energía elástica del resorte con x = 0{,}5\,\text{m}:

E_{\text{el}} = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} \times 2000\,\text{N/m} \times (0{,}5\,\text{m})^{2} = 1000 \times 0{,}25 = 250\,\text{J}

4. Despejo el trabajo de fricción:

\mu \, m g \, d = mgh - \frac{1}{2} k x^{2} = 250\,\text{J} - 250\,\text{J} = 0\,\text{J}

5. Sustituyo mgd = 5\,\text{kg} \times 10\,\text{m/s}^{2} \times 4\,\text{m} = 200\,\text{J} y despejo \mu:

\mu = \frac{mgh - \frac{1}{2}kx^{2}}{mgd} = \frac{0}{200\,\text{J}} = 0

Interpretación física: la energía potencial inicial del bloque (250\,\text{J}) es exactamente igual a la que necesita el resorte para deformarse 50\,\text{cm} (250\,\text{J}); no queda energía disponible para el trabajo disipativo del tramo rugoso, por lo que el coeficiente de rozamiento calculado es nulo. En un caso real, si existiera rozamiento, el resorte se deformaría menos de 50\,\text{cm}. (Es posible que el libro contenga un dato con un error de redondeo; el procedimiento es el mismo.)