Contexto: en una tomografía por emisión de positrones (TEP) se introduce en el cuerpo un elemento radioactivo que decae por emisión de positrones (e^{+}). Un escáner PET detecta los rayos gamma que se producen por aniquilación de pares: el positrón emitido encuentra un electrón en el tejido y ambos se aniquilan, emitiendo dos rayos gamma de 511 ext{ keV} en direcciones opuestas. La glucosa inyectada contiene del orden de 10^{10} átomos de ^{15} ext{O}, con vida media t_{1/2} = 70{,}6 ext{ s}; el oxígeno permanece 5 minutos en el organismo y se distribuye uniformemente en 2 litros de sangre.
En qué consiste el procedimiento de una tomografía por TEP.
- Se prepara un radiotrazador: un compuesto orgánico (típicamente fluorodesoxiglucosa, FDG, marcado con ^{18} ext{F}; en este problema, glucosa marcada con ^{15} ext{O}) cuyo átomo radioactivo decae por emisión de positrones, ^{15} ext{O} \rightarrow \, ^{15} ext{N} + e^{+} + \nu_e.
- El radiotrazador se inyecta por vía intravenosa y circula por la sangre, acumulándose preferiblemente en los tejidos con mayor metabolismo (tumores, cerebro, corazón, hueso).
- El positrón viaja una distancia corta (milímetros) y, al encontrar un electrón del medio, se produce la aniquilación de pares: e^{+} + e^{-} \rightarrow 2\gamma, con cada fotón de energía 511 \text{ keV} emitidos en direcciones opuestas (a 180^\circ).
- Un anillo de detectores de centelleo rodea al paciente y registra los pares de rayos gamma "en coincidencia" (coincidencia temporal), lo que permite trazar la línea recta de origen del evento (líne-of-response).
- Un ordenador reconstruye la distribución tridimensional de la actividad mediante algoritmos (retroproyección filtrada, método de máxima verosimilitud, etc.) y produce cortes tomográficos cuantitativos del metabolismo del tejido.
- La información funcional (metabolismo) se suele fusionar con una tomografía por TC para obtener imágenes anatómicas de referencia.
Respuesta orientativa: consiste en inyectar un radiotrazador que emite positrones; los positrones se aniquilan con electrones del cuerpo produciendo dos rayos gamma de 511\text{ keV} que se detectan en coincidencia, y a partir de esas coincidencias el computador reconstruye imágenes 3D de la actividad metabólica del organismo.
Avances tecnológicos en los procesos de tomografía actuales.
- Híbridas PET/TC y PET/RM: fusionan la imagen funcional (PET) con la anatomía (TC) o con la resonancia magnética, mejorando la localización y la corrección de atenuación.
- Mayor resolución espacial y temporal: anillos de detectores de LSO/LYSO y de silicona, con resoluciones submilimétricas y ventanas de coincidencia muy estrechas, que reducen el ruido y permiten estudiar pequeñas lesiones.
- Menor dosis de radiación y radiotrazadores de vida media corta: generadores y ciclotrones locales permiten usar radionúclidos de vida media corta (^{15} ext{O}, ^{11} ext{C}) y reducir la dosis absorbida por el paciente.
- Reconstrucción cuantitativa y por tiempo de vuelo (TOF): los sistemas TOF miden la diferencia de llegada de ambos fotones, mejorando el ruido y permitiendo la cuantificación absoluta de la actividad en Bq/mL.
- Tomografía por positrones de orden superior (PEET/OPET) y PET con trazadores multipropósito: combinación de detección de fotones y muones para mayor contraste y menor dosis.
Respuesta orientativa: los avances incluyen equipos híbridos PET/TC y PET/RM, detectores de mayor resolución y tiempo de vuelo, reconstrucción cuantitativa, uso de radionúclidos de vida media corta y estrategias que reducen la dosis de radiación recibida por el paciente.
Determinar el orden de magnitud de la actividad del átomo de oxígeno en 1\text{ cm}^{3} de la sangre.
Paso 1. Número de átomos restantes después de 5 minutos.
La desintegración sigue N(t) = N_{0}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}. Con N_{0} = 10^{10} átomos, t = 5 \text{ min} = 300 \text{ s} y t_{1/2} = 70{,}6 \text{ s}:
\frac{t}{t_{1/2}} = \frac{300}{70{,}6} \approx 4{,}25
N = 10^{10} \times (0{,}5)^{4{,}25} = 10^{10} \times 2^{-4{,}25} \approx 10^{10} \times 5{,}27\times 10^{-2} \approx 5{,}3\times 10^{8} \text{ átomos}
Paso 2. Constante de desintegración.
\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0{,}693}{70{,}6\text{ s}} \approx 9{,}82\times 10^{-3}\text{ s}^{-1}
Paso 3. Actividad total del cuerpo en ese instante.
A = \lambda N = (9{,}82\times 10^{-3}\text{ s}^{-1})(5{,}3\times 10^{8}) \approx 5{,}2\times 10^{6}\text{ Bq}
Paso 4. Actividad por unidad de volumen.
El volumen total de sangre es V = 2 \text{ L} = 2000 \text{ cm}^{3}, con distribución uniforme:
A_{v} = \frac{A}{V} = \frac{5{,}2\times 10^{6}\text{ Bq}}{2{,}0\times 10^{3}\text{ cm}^{3}} \approx 2{,}6\times 10^{3}\text{ Bq/cm}^{3}
Verificación: el orden de magnitud 10^{3} es coherente: de 10^{10} átomos solo sobrevive aproximadamente el 5\% tras 4 vidas medias, y esos → 5\times10^{8} átomos repartidos en 2\times10^{3} \text{ cm}^{3} dan ≈ 2{,}5\times10^{5} átomos por cm³, cuya actividad con λ \approx 10^{-2}\text{ s}^{-1} es ≈ 2{,}5\times10^{3} \text{ Bq/cm}^{3}.
A_{v} \approx 2{,}6\times 10^{3} \text{ Bq/cm}^{3}, es decir, del orden de magnitud de 10^{3} \text{ Bq/cm}^{3} (algunos miles de desintegraciones por segundo en cada centímetro cúbico de sangre).
