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Propiedades algebraicas de los números reales

📄 teoria Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

$(x+2)(x-2)=x^2-4$

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Solución — Página 16

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Saberes previos

Se debe deducir el producto de $\left(x+2\right)\left(x-2\right)$ sin realizar la multiplicación término a término. Se reconoce el producto de la suma por la diferencia:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

En este caso, $a=x$ y $b=2$ . Por tanto:

$(x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4$

Propiedades algebraicas de los números reales

Ley cancelativa

Para $x,y,z\in\mathbb{R}$ :

$x+y=x+z\Longleftrightarrow y=z$ .
Si $x\ne 0$ , entonces $xy=yz\Longleftrightarrow x=z$ .
$xy=0\Longleftrightarrow x=0$ o $y=0$ .

Leyes de signos y propiedad distributiva

Para números reales se cumple:

$x(-y)=(-x)y$ .
$(-x)(-y)=xy$ .
$a(b-c)=ab-ac$ .
$-(a+b)=-a-b$ .

Productos notables

Cuadrado de una suma

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Cuadrado de una diferencia

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Producto de la suma por la diferencia

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Binomios con un término común

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

Cuadrado de un polinomio

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Cubo de un binomio

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Suma y diferencia de cubos

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Los productos notables pueden leerse de izquierda a derecha para desarrollar expresiones. Si se leen de derecha a izquierda, permiten factorizar.

Contenido de la página

Propiedades algebraicas de los números reales

La página resume propiedades de los números reales y presenta fórmulas para desarrollar productos notables.

Fórmulas principales

Producto notable	Identidad
Cuadrado de una suma	$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Cuadrado de una diferencia	$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Suma por diferencia	$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
Binomios con término común	$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
Cuadrado de un polinomio	$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

También se incluyen las fórmulas del cubo de un binomio y de la suma y diferencia de cubos.

Ejemplos resueltos

Deduce, sin realizar la multiplicación, el producto de $(x+2)(x-2)$ .

Se aplica la identidad $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ . Como $a=x$ y $b=2$ , se obtiene:

$(x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4$

Tabla

Producto notable	Fórmula
Cuadrado de la suma	$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Cuadrado de la diferencia	$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Suma por diferencia	$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
Binomios con término común	$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

Fórmulas y ecuaciones

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

$x+y=x+z\Longleftrightarrow$ y=z

$xy=0\Longleftrightarrow$ x=0 $\text{ o }$ y=0

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Glosario (4)

Producto notable: Identidad algebraica que permite desarrollar o reconocer rápidamente ciertos productos.
Factorizar: Expresar una suma o diferencia como un producto de factores.
Ley cancelativa: Propiedad que permite eliminar una misma cantidad de ambos miembros de una igualdad, bajo las condiciones correspondientes.
Diferencia de cuadrados: Expresión de la forma $a^2-b^2$, que puede factorizarse como $(a+b)(a-b)$.

Temas y conceptos clave

Ley cancelativaLeyes de los signosPropiedad distributivaProductos notablesFactorizaciónLos productos notables son identidades algebraicas que permiten desarrollar expresiones de manera rápida.La ley cancelativa permite eliminar términos iguales en ambos miembros de una igualdad.El producto de una suma por una diferencia es una diferencia de cuadrados.Las fórmulas pueden utilizarse para desarrollar o factorizar expresiones algebraicas.

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Figuras de la página (3)

Representaciones geométricas mediante áreas rectangulares para justificar el cuadrado de una suma, el cuadrado de una diferencia, la suma por diferencia y los binomios con término común. — Figura 2 image

Figura 3 de Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025 — Figura 3 image

Figura 4 de Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025 — Figura 4 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se aplica el producto de la suma por la diferencia?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la fórmula del cuadrado de una diferencia?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se factoriza una diferencia de cubos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números reales
• Leyes de los signos
• Propiedad distributiva
• Potenciación con exponentes naturales

Siguiente tema sugerido

Desarrollo y factorización de productos notables

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2107 caracteres

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1 sabias quer

En la práctica, existen algunos productos

los cuales que se desarrollan mediante la aplicación de

las propiedades algebraicas de números reales.

Estos productos se denominan productos notables si se leen del lado izquierdo al lado derecho. Si su lectura es al contrario, decimos que se ha factorado.

—~< Competencia <> ee acral Productos notables

Respeta y entiende el criterio y los puntos de vista de tus compañeros cuando trabajes en grupo.

MA 63 Interdisciplinariedad

Matematica

e Ingenieria Los productos notables son muy utilizados en ingeniería. Por ejemplo, se utilizan para calcular la torsión en estructuras, así como también, para las mediciones y cálculos de áreas y superficies de construcción.

Propiedades algebraicas de los números reales R

Ke) Saberes previos

Deduce. Sin realizar la multiplicación, ¿cuál es el producto de (x +2)(x- 2)?

Algunas propiedades algebraicas de los números reales son las siguientes:

Ley cancelativa E Leyes de signos Sean x, y, z € R, entonces, Sean x, y, z € R, entonces, i) X+Y=X4+Z@ y=z i) xCy)= (ry. ii) Six A O;xy=yz O x=z. ii) EE = xy.

Sean a, b,c E R, entonces, i) a(b- 0) =ab-ac. ii) (a + b) =-a-b.

Sean x, y, z € R, entonces, xy=0 & x=0Vy=0.

Archivo Editorial

Cuadrado de la suma (a + b)? Cuadrado de la diferencia (a - b)?

a b q i — a-b b a a ab 2 a-b) | (a-bP |i 3 b ab p? : b (a=b)b | b? (a+ bP = a? + 2ab + b?

(a- bP =a?- 2ab + b*

Producto de la suma por la Binomios con un término

diferencia (a + b)(a - b) común (x + a)(x + b) atb x+b AA A AAA, Re) x b 1 a —_—e— a4° - b x" XD a b x+a a xa | ab

(x + a)(x + b) =x? + (a + b)x +ab

Cuadrado de un polinomio

(a+b+0?=a+b?+c? | (a+ b) =a? + 3a’b + 3ab* + b*

2ab + 2ac + 2bc (a- bP =a} - 3a?b + 3ab*- b?

Cubo de un binomio

Suma y resta de cubos

a+ b*= (a+ bla? - ab +b’) @— b= (a- b) (a?+ ab + b*)

Archivo Editorial

1,32, Calcular expresiones numéricas y algebraicas usando las operaciones básicas y las propiedades algebraicas en R. 33. Reconocer y calcular productos notables e identificar factores de expresiones algebraicas.

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