Completa la tabla con los valores de a, b y c.

(-3,5,-19); (3,0,4); (-1,32,-12); ≤ft(1/3,-4/5,-2)

Resuelve las ecuaciones cuadráticas usando cualquier método.

a) x=0,1/25; b) x=1,-2/3; c) x=3,-4/7; d) x=-9±1134

Resuelve tres problemas aplicados mediante ecuaciones cuadráticas.

a) 18,56 m y 21,56 m; b) 6,7 o -7,-6; c) 6+41≈12,4 años

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

212/255

Compruebo mis aprendizajes

📄 examen Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) 3; b) 4; c) 1; d) 2.
Coeficientes: $(-3,5,-19)$ , $(3,0,4)$ , $(-1,32,-12)$ y $(\frac{1}{3},-\frac{4}{5},-2)$ .
a) $x=0,6$ ; b) $x=0,-8$ ; c) $x=0,-5$ .
a) $x=0,\frac{1}{25}$ ; b) $x=1,-\frac{2}{3}$ ; c) $x=3,-\frac{4}{7}$ ; d) $x=\frac{-9\pm\sqrt{113}}{4}$ .
a) Ancho $\approx18,56$ m y largo $\approx21,56$ m; b) $6$ y $7$ , o $-7$ y $-6$ ; c) $6+\sqrt{41}\approx12,4$ años.
a) $x=\frac{240}{7}\approx34,29$ cm; b) $x=4$ .
c).
a) F; b) V; c) V; d) F.

Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 212

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución

Ejercicio 1

Características de la función

Para $f(x)=-5x^2-x-2$ , se tiene $a=-5$ , $b=-1$ y $c=-2$ .

El eje de simetría es: $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-1)}{2(-5)}=-0,1$

La coordenada $y$ del vértice es: $f(-0,1)=-5(-0,1)^2-(-0,1)-2=-1,95$

Por tanto, el vértice es $(-0,1;-1,95)$ y, como la parábola abre hacia abajo, el recorrido es $(-\infty;-1,95]$ . El dominio de toda función cuadrática es $(-\infty;+\infty)$ .

Correspondencias: recorrido → 3, vértice → 4, eje de simetría → 1 y dominio → 2.

Ejercicio 2

Términos de cada ecuación

En la forma $y=ax^2+bx+c$ , se identifican los coeficientes $a$ , $b$ y $c$ :

Función	$a$	$b$	$c$
$f(x)=-3x^2+5x-19$	$-3$	$5$	$-19$
$y=3x^2+4$	$3$	$0$	$4$
$g(x)=-x^2+32x-12$	$-1$	$32$	$-12$
$m(x)=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{5}x-2$	$\frac{1}{3}$	$-\frac{4}{5}$	$-2$

Ejercicio 3

Ecuaciones mediante el método gráfico

Una solución corresponde a cada corte de la parábola con el eje $x$ .

a) $x^2-6x=0$ $x(x-6)=0$ Por tanto, $x=0$ o $x=6$ .

b) $-x^2-8x=0$ $-x(x+8)=0$ Por tanto, $x=0$ o $x=-8$ .

c) $-x^2-5x=0$ $-x(x+5)=0$ Por tanto, $x=0$ o $x=-5$ .

Ejercicio 4

Resolución de ecuaciones cuadráticas

a) $625x^2-25x=0$ $25x(25x-1)=0$ $x=0 \quad \text{o} \quad x=\frac{1}{25}$

b) $3x^2-x-2=0$ $3x^2-3x+2x-2=0$ $(3x+2)(x-1)=0$ $x=-\frac{2}{3} \quad \text{o} \quad x=1$

c) $-7x^2+17x+12=0$ $7x^2-17x-12=0$ $(7x+4)(x-3)=0$ $x=-\frac{4}{7} \quad \text{o} \quad x=3$

d) $2x^2+9x-4=0$ $\Delta=9^2-4(2)(-4)=113$ $x=\frac{-9\pm\sqrt{113}}{4}$

Ejercicio 5

Problemas

a) Sea $x$ el ancho. El largo es $x+3$ y el área es $400\,\text{m}^2$ : $x(x+3)=400$ $x^2+3x-400=0$ $x=\frac{-3\pm\sqrt{1609}}{2}$ Como una longitud debe ser positiva, $x=\frac{-3+\sqrt{1609}}{2}\approx18,56$ m. El largo es $x+3\approx21,56$ m.

b) Sean $x$ y $x+1$ dos números consecutivos: $x^2+(x+1)^2=85$ $2x^2+2x-84=0$ $x^2+x-42=0$ $(x+7)(x-6)=0$ Los pares posibles son $6$ y $7$ , o $-7$ y $-6$ .

c) Sea $x$ la edad actual de Angélica: $x+15=\frac{1}{2}(x-5)^2$ $2x+30=x^2-10x+25$ $x^2-12x-5=0$ $x=6\pm\sqrt{41}$ La edad válida es $x=6+\sqrt{41}\approx12,4$ años; la otra solución no representa una edad posible.

Ejercicio 6

Teorema de Thales

a) Los segmentos correspondientes son proporcionales: $\frac{CB}{BA}=\frac{FE}{ED}$ $\frac{30}{x}=\frac{7}{8}$ $7x=240$ $x=\frac{240}{7}\approx34,29\text{ cm}$

b) $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$ $\frac{x+3}{2x-1}=\frac{8}{8}=1$ $x+3=2x-1$ $x=4$

Ejercicio 7

Dominio y recorrido

$f(x)=-2x^2+4x-1=-2(x-1)^2+1$ El vértice es $(1,1)$ y la parábola abre hacia abajo. Por ello, el dominio es $(-\infty;+\infty)$ y el recorrido es $(-\infty;1]$ .

Ejercicio 8

Verdadero o falso

Una función cuadrática no es siempre creciente o decreciente en todo su dominio; cambia su comportamiento en el vértice. Si $a<0$ , la parábola abre hacia abajo. Los cortes con el eje $x$ son las soluciones de la ecuación cuadrática. Si no hay cortes con el eje $x$ , no existen soluciones reales.

Contenido de la página

Evaluación sumativa

La página integra contenidos de funciones cuadráticas y ecuaciones cuadráticas. Se revisan el dominio, el recorrido, el vértice, el eje de simetría, las raíces y la concavidad de una parábola. También se plantean problemas de áreas, números consecutivos y edades, además de ejercicios de proporcionalidad mediante el teorema de Thales.

Tabla

| Función | $a$ | $b$ | $c$ $|\n|---|---:|---:|---:|\n|$ $f(x)=-3x^2+5x-19$ | $-3$ | $5$ | $-19$ $|\n|$ $y=3x^2+4$ | $3$ | $0$ | $4$ $|\n|$ $g(x)=-x^2+32x-12$ | $-1$ | $32$ | $-12$ $|\n|$ $m(x)=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{5}x-2$ | $\frac{1}{3}$ | $-\frac{4}{5}$ | $-2$ |

Fórmulas y ecuaciones

$x_v=\frac{-b}{2a}$

$\Delta=b^2-4ac$

$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

$f(x)=-5x^2-x-2$

$x=\frac{-b}{2a}$

$x^2-6x=0$

$-x^2-8x=0$

$-x^2-5x=0$

$625x^2-25x=0$

$3x^2-x-2=0$

$-7x^2+17x+12=0$

$2x^2+9x-4=0$

$x(x+3)=400$

$x^2+(x+1)^2=85$

$x+15=\frac{1}{2}(x-5)^2$

Glosario (6)

Vértice: Punto máximo o mínimo de una parábola.
Eje de simetría: Recta vertical que divide a la parábola en dos partes simétricas.
Dominio: Conjunto de valores permitidos para la variable independiente.
Recorrido: Conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.
Concavidad: Orientación de una parábola; es hacia abajo cuando $a<0$.
Teorema de Thales: Establece que segmentos determinados por rectas paralelas sobre transversales son proporcionales.

Preguntas para practicar

¿Por qué una parábola que no corta el eje $x$ no tiene soluciones reales?

¿Cómo se determina si una función cuadrática abre hacia arriba o hacia abajo?

¿Qué relación existe entre el vértice y el recorrido de una función cuadrática?

Temas y conceptos clave

Características de la función cuadráticaCoeficientes de una ecuación cuadráticaResolución de ecuaciones cuadráticasProblemas con ecuaciones cuadráticasTeorema de ThalesDominio y recorridoPropiedades de las funciones cuadráticasVérticeEje de simetríaDominioRecorridoRaícesDiscriminanteProporcionalidadConcavidad

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se encuentra el vértice de una función cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se aplica el teorema de Thales para hallar una longitud?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se resuelven problemas mediante ecuaciones cuadráticas?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números reales
• Factorización de polinomios
• Fórmula general de la ecuación cuadrática
• Elementos de una parábola
• Proporcionalidad y semejanza

Siguiente tema sugerido

Aplicaciones de las funciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones

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Compruebo mis aprendizajes

Evaluación sumativa

Relaciona cada característica de la función : f(x) =-5x?- x — 2 con su respectiva respuesta. — :

a) Recorrido 1. x=-0,1

b) Vértice 2. (- 0, +00)

c) Eje de simetría 3. [-1,95;-00) : d) Dominio 4. (-0,1;-1,95)

. Completala tabla con los términos de la ecuación. i

Funcion a b c fix) =-3x2+5x-19 y=3x2+4

24.2

mlx) 3x

Resuelve las ecuaciones cuadráticas utilizando el : método gráfico. i

a) x2-6x=0 b) -x2-8x=0 c) -x?-5x=0

Soluciona las ecuaciones cuadraticas utilizando : cualquier método, ;

a) 625x?-25x=0 b) 3x?-x-2=0 Cc) -7x2+17x+12=0 d) 2x2+9x-4=0

1,M,4,3,4./1.M,4,3.5,/1.M,4,5,1.

Aplica el teorema de Thales y encuentra el valor de x. Si las rectas L1, L2 y L3 son paralelas.

dá | (ME |

: Resuelve cada ejercicio y selecciona la respuesta : correcta,

: 7. Selecciona la respuesta correcta sobre el dominio

y recorrido de la función f(x) = -2x? + 4x- 1. a) Dom: (-oo, +00) Rec: [1, 400)

b) Dom: (-oo, +00) Rec: [-1, +00)

c) Dom: (oo, +00) Rec: (-oo, 1]

d) Dom: (-oo, +00) Rec: [-1, —00)

Determina (V) si la afirmación es verdadera o (F)

Resuelve los siguientes problemas con ecuaciones : cuadráticas. }

a) El área de un terreno rectangular mide : 400 m2. Si el largo es 3 m más que el ancho, : ¿cuáles son las dimensiones del terreno? :

b) La suma de los cuadrados de dos números : consecutivos es 85. ¿Cuáles son esos números? :

c) Dentro de 15 años, la edad de Angélica será la E mitad del cuadrado de la edad que tenía hace : 5 años. ¿Cuál es la edad actual de Angélica?

si la afirmación es falsa.

a) Una función cuadrática es estrictamente creciente o decreciente.

b) Cuando el coeficiente a es negativo, la función es cóncava hacia abajo.

e) Los cortes con el eje x de una parábola son las soluciones de una ecuación cuadrática.

d) Una función que no corta el eje de las x tiene una única solución.

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