Propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado
Respuesta rápida
Para 3x^2-7x-6=0: S=\frac{7}{3} y P=-2.
Solución — Página 216
Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025
Propiedades de las raíces
Para una ecuación cuadrática de la forma
ax^2+bx+c=0, \qquad a\ne 0,
sus raíces son x_1 y x_2. A partir de la fórmula general se obtienen las relaciones de Viète:
- Suma de las raíces: S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}
- Producto de las raíces: P=x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}
Al dividir la ecuación entre a, se obtiene:
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.
Por eso, la suma de las raíces es el opuesto del coeficiente de x, y el producto es el término independiente.
También se puede calcular la suma de los cuadrados de las raíces mediante:
x_1^2+x_2^2=\frac{b^2-2ac}{a^2}.
Si se conocen la suma S y el producto P de las raíces, la ecuación puede escribirse como:
x^2-Sx+P=0.
Ejemplo resuelto
Encontrar la suma y el producto de las raíces de:
3x^2-7x-6=0.
Identificamos los coeficientes:
a=3,\qquad b=-7,\qquad c=-6.
Calculamos la suma:
S=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{3}=\frac{7}{3}.
Calculamos el producto:
P=\frac{c}{a}=\frac{-6}{3}=-2.
Por lo tanto, sin resolver la ecuación, se sabe que la suma de sus raíces es \frac{7}{3} y su producto es -2.
Las ecuaciones de segundo grado se aplican en actividades como el diseño de áreas, el estudio del movimiento de objetos, la ingeniería, la economía y el análisis de trayectorias.
Contenido de la página
Ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática tiene la forma ax^2+bx+c=0, con a\ne 0.
Relaciones entre raíces y coeficientes
Si sus raíces son x_1 y x_2, entonces:
x_1+x_2=-\frac{b}{a}
x_1x_2=\frac{c}{a}
Cuando se conocen la suma S y el producto P, la ecuación puede expresarse como:
x^2-Sx+P=0.
Además, la suma de los cuadrados de las raíces es:
x_1^2+x_2^2=\frac{b^2-2ac}{a^2}.
Ejemplos resueltos
Encontrar la suma y el producto de las raíces de 3x^2-7x-6=0 sin resolverla.
Los coeficientes son a=3, b=-7 y c=-6. Entonces:
S=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{3}=\frac{7}{3}
P=\frac{c}{a}=\frac{-6}{3}=-2
La suma es \frac{7}{3} y el producto es -2.
Fórmulas y ecuaciones
S=-\frac{b}{a}
P=\frac{c}{a}
x_1^2+x_2^2=\frac{b^2-2ac}{a^2}
ax^2+bx+c=0
x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x_1+x_2=-\frac{b}{a}
x_1x_2=\frac{c}{a}
x_1^2+x_2^2=\frac{b^2-2ac}{a^2}
x^2-Sx+P=0
Glosario (5)
- Raíz
- Valor de la variable que hace verdadera una ecuación.
- Ecuación cuadrática
- Ecuación polinómica de segundo grado, generalmente escrita como $ax^2+bx+c=0$.
- Coeficiente
- Número que multiplica a una variable o potencia de una variable.
- Discriminante
- Expresión $b^2-4ac$ que permite analizar el tipo de raíces de una ecuación cuadrática.
- Relaciones de Viète
- Reglas que relacionan la suma y el producto de las raíces con los coeficientes de una ecuación polinómica.
Preguntas para practicar
¿En qué actividades se aplican las ecuaciones de segundo grado?
Temas y conceptos clave
Fuentes y referencias
- Enlace indicado en la página: lynk.ec/10m18
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se calcula la suma de las raíces de una ecuación cuadrática?
¿Cómo se obtiene el producto de las raíces?
¿Para qué sirven las relaciones de Viète?
- • Reconocer una ecuación cuadrática en la forma $ax^2+bx+c=0$
- • Identificar los coeficientes $a$, $b$ y $c$
- • Operar con números enteros y fracciones
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1885 caracteres
4 4 4 : 2 8 $ E E a
Los cientificos suelen enunciar leyes mediante ecuaciones.
2 ¿Sabías que?
Existen otras
propiedades.
- Suma de los cuadra- dos de las raíces,
Oda XP Ax = —— a
NR Enlace web
Para conocer más al respecto de este tema puedes ingresa al siguiente link lynk.ec/10m18
Propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado
i / Desequilibrio cognitivo
Indaga. ¿En qué actividades se aplican las ecuaciones de segundo grado?
Antonio quiere determinar, sin resolver, cuál es el valor de la suma y el producto de las raíces de esta ecuación de segundo grado:
3x’? -7x-6=0
Sabemos que toda ecuación cuadrática ax? + bx + c = 0 tiene dos soluciones o raíces:
La =b+ vb? -4ac A
b 2a
2
_2b- Vb? - 4ac 2a
La suma de las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática x, + x, es:
-b+Wb* - 4ac e -b- Vb? -4ac
mee 2a 2a -b +b? - 4ac -b- Vb? - 4ac Xx +X, = = -2b y+ => xx ==
Comparamos con la ecuación ax?+bx+c=0. Dividimos para a:
boc xX 4+—x4+—=0 a a
b LasumaS= X,+X, = 4 corresponde al
coeficiente de x con signo contrario.
El producto de las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática x, + x, es:
y O a 2a
2a
(-b)'-(We*=4ac) 4q° b?-b?+4ac 4a? xe ae E "4a a Comparamos con la ecuación ax? + bx +c=0. Dividimos para a:
XX) =
XX) =
DEE x? +=x+—=0 ayuda
Cc El producto P= X,*X, = z corresponde al
término independiente.
Cuando se conocen la suma y el producto de las raíces de la ecuación de segundo grado, la ecuación puede escribirse como: x? - Sx + P=0.
Ejemplo
Encontrar la suma y el producto de las raíces de la ecuación 3x? - 7x - 6 =0 sin
resolverla, Solución
Determinamos los coeficientes de la ecuación 3x? - 7x- 6 = 0.
a=3,b=-7yc=-6 Obtenemos la suma: fun Ea a 3. 3
6
c Obtenemos el producto: P= FE a -2
M.4,1.60. Aplicar las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado con una incógnita para resolver problemas.
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