Analiza la gráfica y determina concavidad, vértice, corte con el eje y, raíces, dominio y rango.

V=(-1,-1), x=-2,0, D=R, R=[-1,+)

Para f(x)=-x^2-6x+9, determina gráfica, corte con el eje y, eje de simetría, vértice, dominio, recorrido, monotonía y raíces.

V=(-3,18), x=-3, R=(-,18], x=-3±32

Resuelve las ecuaciones cuadráticas empleando el método más adecuado.

a) x=5± i476; b) x=-1±292; c) x=3±152; d) x=3± i874

Determina x y y aplicando el teorema de Thales, considerando que L_1 y L_2 son paralelas.

x=3/4 cm, y=104/3 cm≈34,67 cm

Expresa tus emociones frente a las tareas y obligaciones escolares y comparte tu sentir con tus compañeros.

Escribe una respuesta personal, sincera y respetuosa sobre cómo te sientes al realizar tus obligaciones escolares.

Pinta la opción de autoevaluación que corresponda a tu nivel: puedo ayudar a otros, resuelvo por mí mismo, necesito ayuda o estoy en proceso.

Lee cada afirmación y selecciona la opción que refleje honestamente tu dominio.

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

213/255

Evaluación de la unidad: funciones cuadráticas y teorema de Thales

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 213

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Respuesta rápida

Opción a): $x_1=4$ , $x_2=-2$ .
a) Concavidad hacia arriba. b) $(-1,-1)$ . c) $(0,0)$ . d) $x=-2$ y $x=0$ . e) Dominio: $\mathbb{R}$ ; rango: $[-1,+\infty)$ .
$x=2,652\text{ cm}\approx2,7\text{ cm}$ .
Vértice: $(-3,18)$ ; eje: $x=-3$ ; corte con $y$ : $(0,9)$ ; dominio: $\mathbb{R}$ ; recorrido: $(-\infty,18]$ ; raíces: $x=-3\pm3\sqrt{2}$ ; creciente en $(-\infty,-3)$ y decreciente en $(-3,+\infty)$ .
a) $x=\frac{5\pm i\sqrt{47}}{6}$ ; b) $x=-1\pm\frac{\sqrt{29}}{2}$ ; c) $x=\frac{3\pm\sqrt{15}}{2}$ ; d) $x=\frac{3\pm i\sqrt{87}}{4}$ .
$x=\frac{3}{4}\text{ cm}$ y $y=\frac{104}{3}\text{ cm}\approx34,67\text{ cm}$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 213

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 9

Raíces de una ecuación cuadrática

Se factoriza la ecuación:

$x^2-2x-8=0$

Buscamos dos números cuyo producto sea $-8$ y cuya suma sea $-2$ :

$x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$

Entonces:

$x-4=0 \quad \text{o} \quad x+2=0$

Por tanto, las raíces son $x_1=4$ y $x_2=-2$ .

Ejercicio 10

Análisis de la gráfica

La parábola abre hacia arriba, por lo que su concavidad es positiva. En la gráfica se observa que:

El vértice es $(-1,-1)$ .
La parábola corta al eje $x$ en $(-2,0)$ y $(0,0)$ .
El corte con el eje $y$ es $(0,0)$ .
El dominio contiene todos los números reales.
El menor valor de la función es $-1$ .

Por ello, el rango es $[-1,+\infty)$ .

Ejercicio 11

Teorema de Thales

Los segmentos interiores son paralelos al lado derecho del triángulo, por lo que los triángulos formados son semejantes. Se plantea la proporción:

$\frac{x}{3,9}=\frac{3,4}{5}$

Despejando $x$ :

$x=3,9\cdot\frac{3,4}{5}=2,652\text{ cm}$

Aproximando a las décimas:

$x\approx 2,7\text{ cm}$

Ejercicio 12

Función $f(x)=-x^2-6x+9$

Parte 12.a

Gráfica

La gráfica es una parábola con concavidad hacia abajo, porque el coeficiente de $x^2$ es negativo. Su vértice es $(-3,18)$ y corta al eje $y$ en $(0,9)$ .

Parte 12.b

Corte con el eje $y$

Se calcula $f(0)$ :

$f(0)=-(0)^2-6(0)+9=9$

El corte es $(0,9)$ .

Parte 12.c

Eje de simetría

Para $f(x)=ax^2+bx+c$ , el eje de simetría es:

$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-6)}{2(-1)}=-3$

Parte 12.d

Vértice

Evaluamos la función en $x=-3$ :

$f(-3)=-(-3)^2-6(-3)+9=-9+18+9=18$

El vértice es $V=(-3,18)$ .

Parte 12.e

Dominio y recorrido

El dominio es:

$D_f=\mathbb{R}$

Como la parábola abre hacia abajo y su valor máximo es $18$ , el recorrido es:

$R_f=(-\infty,18]$

Parte 12.f

Monotonía

La función es creciente en $(-\infty,-3)$ y decreciente en $(-3,+\infty)$ .

Parte 12.g

Raíces

Se iguala la función a cero:

$-x^2-6x+9=0$

Multiplicando por $-1$ :

$x^2+6x-9=0$

Aplicando la fórmula general:

$x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4(1)(-9)}}{2}$

$x=\frac{-6\pm\sqrt{72}}{2}=\frac{-6\pm6\sqrt{2}}{2}$

Por tanto:

$x_1=-3+3\sqrt{2},\qquad x_2=-3-3\sqrt{2}$

Ejercicio 13

Ecuaciones cuadráticas

Parte 13.a

$3x^2-5x+6=0$

El discriminante es:

$\Delta=(-5)^2-4(3)(6)=25-72=-47$

Como el discriminante es negativo, no existen raíces reales. En los números complejos:

$x=\frac{5\pm i\sqrt{47}}{6}$

Parte 13.b

$4x^2+8x-25=0$

$x=\frac{-8\pm\sqrt{8^2-4(4)(-25)}}{2(4)}$

$x=\frac{-8\pm\sqrt{464}}{8}=\frac{-8\pm4\sqrt{29}}{8}$

$x=-1\pm\frac{\sqrt{29}}{2}$

Parte 13.c

$2x^2-6x-3=0$

$x=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4(2)(-3)}}{4}$

$x=\frac{6\pm\sqrt{60}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{15}}{2}$

Parte 13.d

$4x^2-6x+24=0$

$\Delta=(-6)^2-4(4)(24)=36-384=-348$

No existen raíces reales. En los números complejos:

$x=\frac{6\pm i\sqrt{348}}{8}=\frac{3\pm i\sqrt{87}}{4}$

Ejercicio 14

Teorema de Thales

Según las medidas del diagrama, desde el punto de intersección de las transversales hasta $L_1$ se tienen $3$ cm y $8$ cm. Entre $L_1$ y $L_2$ se tienen $13$ cm en la transversal inferior y $y$ en la superior. Por tanto, la distancia total hasta $L_2$ en la transversal inferior es $3+13=16$ cm.

Por semejanza:

$\frac{3}{16}=\frac{x}{4}$

De donde:

$x=\frac{3\cdot4}{16}=\frac{3}{4}\text{ cm}$

También:

$\frac{3}{16}=\frac{8}{8+y}$

$3(8+y)=128$

$24+3y=128$

$y=\frac{104}{3}\text{ cm}\approx34,67\text{ cm}$

Ejercicio 15

Expreso mis emociones

Una respuesta posible es: "Me siento optimista porque, aunque algunas tareas son difíciles, puedo aprender con esfuerzo y pedir ayuda a mis compañeros cuando la necesito."

Ejercicio 16

Autoevaluación

Esta actividad no tiene una respuesta única. Se debe pintar la opción que represente el nivel personal de dominio: "Puedo ayudar a otros", "Resuelvo por mí mismo", "Necesito ayuda" o "Estoy en proceso".

Metacognición

Una respuesta posible para la primera pregunta es: "Lo más relevante fue aprender a determinar las características de una función cuadrática y resolver ecuaciones mediante distintos métodos."

Para la segunda pregunta: "Puedo aplicar estos conocimientos para analizar trayectorias, calcular alturas y distancias, y resolver problemas de proporcionalidad en situaciones cotidianas."

Contenido de la página

La página integra ejercicios de cierre sobre funciones cuadráticas y el teorema de Thales. Se estudian las raíces, el vértice, el eje de simetría, los cortes con los ejes, el dominio, el recorrido y la monotonía de parábolas. Finalmente, se incluyen actividades de reflexión personal y autoevaluación.

Ejemplos resueltos

Determinar las raíces de $x^2-2x-8=0$ .

$x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$ , por lo que $x=4$ o $x=-2$ .

Determinar el vértice de $f(x)=-x^2-6x+9$ .

$x_v=-3$ y $f(-3)=18$ . Por tanto, el vértice es $(-3,18)$ .

Fórmulas y ecuaciones

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_v=\frac{-b}{2a}$

$\Delta=b^2-4ac$

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

$x^2-2x-8=0$

$f(x)=-x^2-6x+9$

$3x^2-5x+6=0$

$4x^2+8x-25=0$

$2x^2-6x-3=0$

$4x^2-6x+24=0$

Glosario (6)

Raíz: Valor de la variable que hace que una ecuación o función sea igual a cero.
Vértice: Punto máximo o mínimo de una parábola.
Eje de simetría: Recta vertical que divide a la parábola en dos partes simétricas.
Discriminante: Expresión $\Delta=b^2-4ac$ que permite conocer el tipo de raíces de una ecuación cuadrática.
Recorrido: Conjunto de valores que puede tomar la función.
Teorema de Thales: Principio que relaciona proporcionalmente segmentos determinados por rectas paralelas y transversales.

Preguntas para practicar

¿Qué fue lo más relevante que aprendiste en esta unidad?

¿Cómo puedes aplicar lo aprendido en situaciones de la vida cotidiana?

¿Qué estrategia utilizarías para resolver una ecuación cuadrática?

Temas y conceptos clave

Raíces de ecuaciones cuadráticasCaracterísticas de una parábolaDominio, recorrido y monotoníaFórmula generalTeorema de ThalesAutoevaluación y metacogniciónDiscriminanteVérticeEje de simetríaConcavidadRaícesDominioRecorridoSemejanza

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Figuras de la página (2)

Triángulo con segmentos paralelos que ilustran una aplicación del teorema de Thales. — Figura 2 image

Dos rectas paralelas $L_1$ y $L_2$ cortadas por dos transversales, con segmentos marcados para calcular $x$ y $y$. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se encuentran las raíces de una ecuación cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se determina el vértice y el eje de simetría de una parábola?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se aplica el teorema de Thales para calcular segmentos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Factorización de polinomios
• Fórmula general de la ecuación cuadrática
• Lectura de coordenadas en el plano cartesiano
• Proporciones y semejanza de triángulos

Siguiente tema sugerido

Aplicaciones de las funciones cuadráticas y resolución de problemas de semejanza

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1701 caracteres

Selecciona las raíces de la ecuación cuadrática. +21

x2-2x-8=0 E 12. Trabajen en equipo y resuelvan. a) x,=4,x,=-2 c) x,=-4x,=-2 E Dada la función f(x) =-X?—6X+ 9, determinen. b) x,=4%=2 + d) x,=-4,x,=2 ¿ a) Gráfica e) Dominio y recorrido ; o . E b) Cortes con elejey f) Monotonía eer 10. Analiza la siguiente gráfica y responde: : ©) Eje de simetría g) Raíces eE

d) Vértice

17 A |: 13. Resuelvan las ecuaciones cuadráticas empleando y | | ¿el método más adecuado.

a) 3x2-5x+6=0 c) 2x?-6x-3=0

147 ES b) 4x2+8x-25=0 d) 4x2-6x+24=0 A ace i ay | | i | | | | | : 14, Determinen el valor de Xe y, aplicando el teorema : deThales. Si las rectas L1 y L2 son paralelas, a) Indica la concavidad: : u 12

b) Las coordenadas del vértice son: e) Elpunto de corte con el eje y:

d) Las raíces o soluciones de la ecuación son:

e) Escribe el dominio y rango:

Encuentra x con el teorema de Thales. H | ¿ 15. Expreso mis emociones. Cuando tengas que f realizar tus tareas y demas obligaciones como estudiante, debes ser optimista. Comparte tu sentir con tus compañeros.

| Autoevaluación

| 16. Pinta según la clave. Puedo ayudar a otros Resuelvo por mí mismo Necesito ayuda Estoy en proceso

Determino las características: dominio, recorrido, monotonía, cortes de | eje x y y, concavidad de una función cuadrática.

Encuentro las raíces mediante factoreo, completación de cuadrados

SUECA o por la fórmula general.

Determino segmentos y triángulos semejantes aplicando el teorema de Thales en situaciones cotidianas.

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