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Análisis del discriminante

📄 teoria Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Si $\Delta>0$ , hay dos raíces reales diferentes; si $\Delta=0$ , hay dos raíces reales iguales; y si $\Delta<0$ , no hay raíces reales. En los ejemplos, las raíces son $-3$ y $2$ ; la raíz doble es $3$ ; y la tercera ecuación no tiene soluciones reales.

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Solución — Página 217

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Fórmula general

Para resolver una ecuación cuadrática de la forma

$ax^{2}+bx+c=0, \qquad a\ne 0$

se utiliza la fórmula general:

$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},\qquad x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

La expresión

$\Delta=b^{2}-4ac$

se llama discriminante. Su valor permite conocer el tipo de raíces de la ecuación.

Casos del discriminante

Si $\Delta>0$ : existen dos raíces reales diferentes. La parábola corta al eje $x$ en dos puntos.
Si $\Delta=0$ : existe una raíz real doble. La parábola toca al eje $x$ en un solo punto, que corresponde al vértice.
Si $\Delta<0$ : no existen raíces reales. La parábola no corta al eje $x$ .

Ejemplos de la página

Ejercicio 1

Dos raíces reales diferentes

Para $x^{2}+x-6=0$ , se tiene $a=1$ , $b=1$ y $c=-6$ .

$\Delta=b^{2}-4ac$

$\Delta=1^{2}-4(1)(-6)=1+24=25$

Como $25>0$ , la ecuación tiene dos raíces reales diferentes. Al resolver:

$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{25}}{2}=\frac{-1+5}{2}=2$

$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{25}}{2}=\frac{-1-5}{2}=-3$

Las raíces son $x_{1}=2$ y $x_{2}=-3$ . La parábola corta al eje $x$ en $(2,0)$ y $(-3,0)$ .

Ejercicio 2

Dos raíces reales iguales

Para $x^{2}-6x+9=0$ , se tiene $a=1$ , $b=-6$ y $c=9$ .

$\Delta=(-6)^{2}-4(1)(9)=36-36=0$

Como $\Delta=0$ , la ecuación tiene una raíz real doble:

$x=\frac{-(-6)}{2(1)}=\frac{6}{2}=3$

Por tanto, $x_{1}=x_{2}=3$ . La parábola toca al eje $x$ en $(3,0)$ , que es su vértice.

Ejercicio 3

Sin raíces reales

Para $x^{2}-3x+5=0$ , se tiene $a=1$ , $b=-3$ y $c=5$ .

$\Delta=(-3)^{2}-4(1)(5)=9-20=-11$

Como $-11<0$ , la ecuación no tiene soluciones reales. Por ello, la parábola no corta al eje $x$ .

Identidad de Legendre

Para las raíces $x_{1}$ y $x_{2}$ también se cumple:

$\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}=4x_{1}x_{2}$

Contenido de la página

Análisis del discriminante

El discriminante de una ecuación cuadrática $ax^{2}+bx+c=0$ es $\Delta=b^{2}-4ac$ . Permite determinar el número y tipo de soluciones reales sin resolver completamente la ecuación.

Valor del discriminante	Tipo de raíces	Interpretación gráfica
$\Delta>0$	Dos raíces reales diferentes	La parábola corta al eje $x$ en dos puntos
$\Delta=0$	Dos raíces reales iguales	La parábola toca al eje $x$ en un punto
$\Delta<0$	No hay raíces reales	La parábola no corta al eje $x$

La fórmula general es:

$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

La página también presenta la identidad de Legendre:

$\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}=4x_{1}x_{2}$

Ejemplos resueltos

Determinar el tipo de raíces de $x^{2}+x-6=0$ .

$\Delta=1^{2}-4(1)(-6)=25$ . Como $\Delta>0$ , existen dos raíces reales diferentes: $x_{1}=2$ y $x_{2}=-3$ .

Determinar el tipo de raíces de $x^{2}-6x+9=0$ .

$\Delta=(-6)^{2}-4(1)(9)=0$ . Como $\Delta=0$ , existe una raíz real doble: $x_{1}=x_{2}=3$ .

Determinar el tipo de raíces de $x^{2}-3x+5=0$ .

$\Delta=(-3)^{2}-4(1)(5)=-11$ . Como $\Delta<0$ , la ecuación no tiene soluciones reales.

Tabla

Discriminante	Soluciones	Gráfica
$\Delta>0$	Dos raíces reales diferentes	Corta el eje $x$ dos veces
$\Delta=0$	Una raíz real doble	Toca el eje $x$ una vez
$\Delta<0$	Ninguna raíz real	No corta el eje $x$

Fórmulas y ecuaciones

$\Delta=b^{2}-4ac$

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$ax^{2}+bx+c=0$

$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$\Delta=b^{2}-4ac$

$\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}=4x_{1}x_{2}$

Glosario (5)

Discriminante: Expresión $b^{2}-4ac$ que permite determinar el tipo de raíces de una ecuación cuadrática.
Raíz: Valor de la variable que hace verdadera una ecuación.
Raíz doble: Solución que aparece dos veces y se obtiene cuando el discriminante es cero.
Parábola: Curva que representa gráficamente una función cuadrática.
Vértice: Punto máximo o mínimo de una parábola.

Temas y conceptos clave

DiscriminanteEcuaciones cuadráticasTipos de raícesInterpretación gráfica de una parábolaFórmula generalDiscriminante $\Delta=b^{2}-4ac$Dos raíces reales diferentesRaíz real dobleAusencia de raíces realesIntersección con el eje $x$

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Preguntas que la gente también hace

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¿Cómo se relacionan las raíces de una ecuación cuadrática con su parábola?

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📌 Antes de leer esto

• Identificar los coeficientes $a$, $b$ y $c$
• Operar con números enteros
• Calcular potencias y raíces cuadradas
• Resolver ecuaciones de segundo grado mediante la fórmula general

Siguiente tema sugerido

Relación entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1731 caracteres

Análisis del discriminante

La ecuación de segundo grado ax? + bx + c = 0 tiene dos soluciones:

' 2a

La cantidad subradical b ? - 4ac se denomina discriminante, porque sirve para

-b+Vb? - 4ac y

_ -b- vb’ -4ac

ds 2a

discriminar (discernir) entre los tipos de soluciones.

Existen tres posibles casos:

Discriminante: b?-4ac> 0 Discriminante positivo Dos raíces reales diferentes

Ejemplo: x?+x-6=0

Analizamos el discriminante. a=1, b=1,c=-6

b?-4ac>0

1?-4(1)(-6) >0

1+24>0

25>0

La ecuación tiene dos raíces reales diferentes.

Graficamos la función cuadrática: y=x?+x-6

| 7 | | 6 2 Lye =x +X-6 4 Y 3 2 1 4 + + >x =4 1 39514

Los puntos (-3, 0) y (2, 0) son los cor- tes de la parábola con el eje x, y son las soluciones de la ecuación: x=-3 y x,=2

Discriminante: b?- 4ac=0 Discriminante nulo Raíces reales iguales

Ejemplo: x?-6x+9=0

Analizamos el discriminante. a=1, b=-6, c=9

b?-4ac=0

(-6 -4(1)(9) = 0

36-36=0

0=0

La ecuación tiene única solución, las dos raíces son reales e iguales.

Graficamos la función cuadrática: y=x?-6x+9

y=x*-6x+9

O EE E CEE

is)

La identidad de Legendre se aplica a las raíces:

¿Sabías que?

(x, 4%) (0x2) =4%%

| Discriminante: b?- 4ac <0 | Discriminante negativo

| No hay raíces reales Ejemplo:x?- 3x+5=0

Analizamos el discriminante. a=1,b=-3,c=5

b?-4ac <0

(-3)?-4(1)(5) < 0

9-20<0

-11<0

La ecuación no tiene solución real.

Graficamos la función cuadrática: y=x?-3x+5

y=X-3x+5

ERE SE 1

Archivo editorial.

El punto de corte de la parábola con el eje xes (3, 0), que es el vértice de la parábola. La ecuación tiene dos raíces reales iguales:

Xx, =X,=3

La parábola no corta el eje de las x, por lo tanto, la ecuación no tiene soluciones reales.

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