Olimpiadas matemáticas

Resolución de los problemas

Si el reparto fuera equitativo, cada amigo recibiría \frac{1}{4} de la bolsa. Por tanto, los tres amigos mayores deberían recibir en conjunto:

3\times\frac{1}{4}=\frac{3}{4}

Ellos se quedaron con \frac{2}{3} de lo que les correspondía:

\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{2}

Entonces, al amigo menor le quedó la parte restante:

1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}

En porcentaje:

\frac{1}{2}\times100\%=50\%

Las líneas paralelas dividen el triángulo equilátero en 9 triángulos pequeños de igual área. Como el área total es 9\ \text{cm}^2, cada triángulo pequeño tiene un área de:

\frac{9}{9}=1\ \text{cm}^2

Cada uno de los tres cuadriláteros está formado por dos triángulos pequeños, así que su área es:

2\times1=2\ \text{cm}^2

El área total de los tres cuadriláteros es:

3\times2=6\ \text{cm}^2

Los centros de los tres círculos ubicados en los vértices forman un triángulo equilátero. Como los círculos son tangentes y su radio es 2\ \text{cm}, el lado de este triángulo mide 8\ \text{cm}.

Dentro del triángulo aparecen:

• Tres sectores de 60^\circ, uno en cada vértice. Su área total es:

3\times\frac{60}{360}\times\pi(2)^2=2\pi

• Tres semicírculos, correspondientes a los círculos ubicados en los lados. Su área total es:

3\times\frac{1}{2}\pi(2)^2=6\pi

Por tanto, el área sombreada es:

2\pi+6\pi=8\pi\ \text{cm}^2

Un número que sea múltiplo de 5 debe terminar en 5 o en 0. Como solo se pueden usar los números del 1 al 7, debe terminar en 5.

Para que también sea múltiplo de 3, la suma de sus cifras debe ser múltiplo de 3. Si la cifra de las unidades es 5, la cifra de las decenas debe cumplir:

\text{decena}+5\equiv0\pmod{3}

Entre los números disponibles, las decenas posibles son 1, 4 y 7. Se forman los números:

15,\ 45,\ 75

Según la figura, la región no sombreada dentro del círculo es el cuadrado central de lado 4\ \text{cm}. Sus cuatro vértices están dentro del círculo porque su diagonal mide:

4\sqrt{2}<6

El área del círculo de radio 3\ \text{cm} es:

A_c=\pi(3)^2=9\pi\ \text{cm}^2

El área del cuadrado central es:

A_q=4^2=16\ \text{cm}^2

Por lo tanto, el área sombreada es la diferencia:

A_s=9\pi-16\ \text{cm}^2

Aproximadamente:

A_s\approx12,27\ \text{cm}^2