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Resolución de los ejercicios

En los diagramas se observa que el número superior es el cuadrado del número izquierdo y que el número derecho es su cubo:

2^2=4,\qquad 2^3=8

5^2=25,\qquad 5^3=125

Por tanto, para 64:

A=\sqrt{64}=8

B=8^3=512

Entonces:

A+B=8+512=520

Sean x y y los números, con x>y:

x+y=97

x-y=29

Sumamos las ecuaciones:

2x=126\Rightarrow x=63

Luego:

y=97-63=34

Los números son 34 y 63.

\left(2^x\cdot2^3\right)\div2^3=2^7

Aplicando las propiedades de las potencias:

2^{x+3}\div2^3=2^{x+3-3}=2^x

Entonces:

2^x=2^7\Rightarrow x=7

La primera cifra aumenta de uno en uno: 0,1,2,3.

Las letras avanzan dos posiciones: A,C,E,G.

El último número aumenta de cuatro en cuatro: 4,8,12,16.

La combinación siguiente es:

3G16

Primero calculamos los \frac{3}{4} de 1600:

\frac{3}{4}\cdot1600=1200

Ahora calculamos el 30\% de 1200:

30\%\cdot1200=0{,}30\cdot1200=360

El largo es 12 cm y el ancho es la mitad:

a=\frac{12}{2}=6\text{ cm}

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

d=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}

Como 180=36\cdot5:

d=6\sqrt{5}\text{ cm}

Cada cara del cubo es un cuadrado de lado 12 cm. Su diagonal mide:

d=\sqrt{12^2+12^2}=\sqrt{288}=12\sqrt{2}\text{ cm}

El cubo tiene 6 caras:

6\cdot12\sqrt{2}=72\sqrt{2}\text{ cm}

El número de diagonales de un polígono de n lados es:

D=\frac{n(n-3)}{2}

Para un dodecágono, n=12:

D=\frac{12(12-3)}{2}=\frac{12\cdot9}{2}=54

Los denominadores siguen el patrón de multiplicar alternadamente por 2 y por 3:

2\cdot3=6,\qquad 6\cdot2=12,\qquad 12\cdot3=36,\qquad 36\cdot2=72

Por lo tanto, el término siguiente es:

\frac{3}{72}

La sucesión alterna las operaciones -1 y +3:

5-1=4,\quad 4+3=7,\quad 7-1=6,\quad 6+3=9

La serie completa es:

5,4,7,6,9,8,11,10,13

El número que falta es 9.