Olimpiadas matemáticas

Resolución de los ejercicios

El cuadrado tiene lado 1, por lo tanto su área es 1 unidad cuadrada. La región amarilla es un cuadrilátero cuyos lados vertical y horizontal miden \frac{1}{4}, y sus lados inclinados son paralelos.

Al calcular su área mediante la descomposición en triángulos, se obtiene:

A=\frac{3}{32}

Por tanto, la superficie sombreada representa \frac{3}{32} del cuadrado.

Al doblar la red, las caras se organizan como las caras de un cubo. La cara E queda en la posición opuesta a B; ambas no comparten una arista y, al cerrar el cubo, quedan enfrentadas.

Por ello, la letra opuesta a B es E.

Los martes aparecen cada siete días. Si tres martes corresponden a fechas pares, esas fechas son 2, 16 y 30.

Entonces:

• El día 16 fue martes.
• Cinco días después, el día 21, fue domingo.

En los años 2017-2020 ingresaron en total:

4\times325=1300

El promedio de los cinco años 2017-2021 es un 20\% mayor que 325:

325\times1,20=390

Por tanto, el total de estudiantes ingresados durante los cinco años fue:

5\times390=1950

Los estudiantes que ingresaron en 2021 fueron:

1950-1300=650

Para obtener el número divisible para 8 más grande cambiando exactamente dos dígitos de 888, se conserva uno de los dígitos 8. El mayor número posible es 984, porque:

984\div8=123

Para obtener el número divisible para 8 más pequeño, se conserva un dígito 8. El menor posible es 108, porque:

108\div8=13,5

Corrección: 108 no es divisible para 8. El menor número válido es 184, pues:

184\div8=23

La diferencia es:

984-184=800

El rectángulo está formado por dos cuadrados iguales. Si el área del rectángulo es 200\text{ mm}^2, el área de cada cuadrado es:

\frac{200}{2}=100\text{ mm}^2

En cada cuadrado, las dos regiones blancas corresponden a dos sectores circulares de 90^\circ. En conjunto, su área es la mitad del área de un círculo de radio igual a la mitad del lado del cuadrado:

A_{blanca}=\frac{\pi s^2}{8}

Como s^2=100:

A_{blanca}=\frac{100\pi}{8}=\frac{25\pi}{2}

Para los dos cuadrados, el área blanca total es:

2\times\frac{25\pi}{2}=25\pi

Entonces, el área sombreada es:

A_{sombreada}=200-25\pi\text{ mm}^2