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Propiedades de las potencias

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

1. a) $\frac{4}{25}$ ; b) $e^{14}$ ; c) $0,64$ ; d) $16\pi^4$ ; e) $\frac{1}{16}$ ; f) $\frac{3375}{2744}$ ; g) $-\frac{33}{8}$ ; h) $\frac{1}{2}$ ; i) $25$ ; j) $\frac{1}{81}$ ; k) $-27$ ; l) $\frac{\sqrt{5}}{10}$ ; m) $\frac{6561}{65536}$ ; n) $\frac{729}{117649}$ ; o) $1$ ; p) $\frac{2}{3}$ ; q) $\frac{1}{256}$ ; r) $\frac{4}{5}$ ; s) $\frac{9}{25}$ .

2. a) $x=-3$ ; b) $x=-3$ ; c) $x=6$ ; d) $x=4$ ; e) $x=\pm7$ ; f) $x=-2$ ; g) $x=3$ ; h) $x=5\pi^2$ .

3. Verdaderas: a y c. Falsas: b y d.

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 54

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución

Se aplican las propiedades: producto y cociente de potencias de igual base, potencia de una potencia, exponente negativo y potencia de un producto.

Ejercicio 1

Aplica las propiedades y resuelve

a) Se suman los exponentes: $\left(\frac{2}{5}\right)^{3+4-5}=\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}$ .
b) Al dividir potencias de igual base, se restan exponentes: $e^{7}\div e^{-7}=e^{7-(-7)}=e^{14}$ .
c) Como $(-0,8)^{-6}=(0,8)^{-6}$ , se suman los exponentes: $(0,8)^{-6+3+5}=(0,8)^2=0,64$ .
d) Se multiplican los exponentes: $\left[(2\pi)^2\right]^2=(2\pi)^4=16\pi^4$ .
e) Primero se multiplican las fracciones: $\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}=\frac{1}{4}$ . Entonces $\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}$ .
f) $\frac{6}{7}\div\frac{4}{5}=\frac{6}{7}\cdot\frac{5}{4}=\frac{15}{14}$ ; por tanto, $\left(\frac{15}{14}\right)^3=\frac{3375}{2744}$ .
g) $0,\overline{24}=\frac{8}{33}$ , así que $\left(-\frac{8}{33}\right)^{-1}=-\frac{33}{8}$ .
h) $\left(\sqrt{2}\right)^{-2}=\frac{1}{(\sqrt{2})^2}=\frac{1}{2}$ .
i) $\left(\frac{1}{\sqrt[5]{5}}\right)^{-10}=\left(5^{-\frac{1}{5}}\right)^{-10}=5^2=25$ .
j) $\left[\left(\sqrt[3]{3}\right)^{-2}\right]^6=\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^{-12}=3^{-4}=\frac{1}{81}$ .
k) Como $-0,\overline{3}=-\frac{1}{3}$ , se tiene $\left(-\frac{1}{3}\right)^{10}\left(-\frac{1}{3}\right)^{-10}\left(-\frac{1}{3}\right)^{-3}=\left(-\frac{1}{3}\right)^{-3}=-27$ .
l) $(2\sqrt{5})^3(2\sqrt{5})^{-4}=(2\sqrt{5})^{-1}=\frac{1}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{10}$ .
m) $\left(\frac{3}{4}\right)^5\left(\frac{3}{4}\right)^3=\left(\frac{3}{4}\right)^8=\frac{6561}{65536}$ .
n) $\left(\frac{3}{7}\right)^2\left(\frac{3}{7}\right)^4=\left(\frac{3}{7}\right)^6=\frac{729}{117649}$ .
o) $(0,1)^3(0,1)(0,1)^{-4}=(0,1)^{3+1-4}=(0,1)^0=1$ .
p) $\left(\frac{2}{3}\right)^3\div\left(\frac{2}{3}\right)^2=\left(\frac{2}{3}\right)^{3-2}=\frac{2}{3}$ .
q) $\left\{\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^2\right\}^2=\left(\frac{1}{2}\right)^{2\cdot2\cdot2}=\left(\frac{1}{2}\right)^8=\frac{1}{256}$ .
r) $\left(\frac{5}{4}\right)^{-1}=\frac{4}{5}$ .
s) $(1,2\cdot0,5)^2=(0,6)^2=0,36=\frac{9}{25}$ .

Ejercicio 2

Encuentra el valor de $x$

a) $\left[(2^x)^4\right]^2=2^{8x}=2^{-24}$ ; entonces $8x=-24$ y $x=-3$ .
b) $\varphi^6\cdot\varphi^7\cdot\varphi^x=\varphi^{13+x}=\varphi^{10}$ ; por tanto, $13+x=10$ y $x=-3$ .
c) $\left(\sqrt[3]{5}\right)^x=5^{\frac{x}{3}}=25=5^2$ ; así, $\frac{x}{3}=2$ y $x=6$ .
d) $\left(\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{5}}\right)^x=\left(\frac{13}{5}\right)^{\frac{x}{2}}=\left(\frac{13}{5}\right)^2$ ; entonces $\frac{x}{2}=2$ y $x=4$ .
e) $\left(\frac{\sqrt{43}}{x}\right)^2=\frac{43}{x^2}=\frac{43}{49}$ . Por ello, $x^2=49$ y $x=7$ o $x=-7$ .
f) $-6^x=-\frac{1}{36}=-6^{-2}$ ; entonces $x=-2$ .
g) $\left(-4\cdot\frac{1}{3}\right)^x=\left(-\frac{4}{3}\right)^x=-\frac{64}{27}=\left(-\frac{4}{3}\right)^3$ ; por tanto, $x=3$ .
h) $\left(\frac{4\pi}{x}\right)^{-5}=\left(\frac{x}{4\pi}\right)^5=\frac{3125}{1024}\pi^5=\left(\frac{5\pi}{4}\right)^5$ . Luego $\frac{x}{4\pi}=\frac{5\pi}{4}$ y $x=5\pi^2$ .

Ejercicio 3

Problema-decisión

a) Verdadera: una base negativa elevada a un exponente par da un resultado positivo.
b) Falsa: en una potencia de potencia se multiplican los exponentes, no se suman.
c) Verdadera: una base positiva elevada a cualquier exponente entero conserva un resultado positivo.
d) Falsa: la propiedad distributiva de la potencia se aplica al producto y al cociente, no directamente a la suma o la resta.

Contenido de la página

Propiedades utilizadas

Producto de potencias de igual base: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ .
Cociente de potencias de igual base: $a^m\div a^n=a^{m-n}$ .
Potencia de una potencia: $(a^m)^n=a^{mn}$ .
Exponente negativo: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ .
Exponente cero: $a^0=1$ , con $a\ne0$ .
Exponente fraccionario: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ .
Una base negativa elevada a un exponente par produce un resultado positivo; elevada a un exponente impar produce un resultado negativo.

Ejemplos resueltos

Simplificar $\left(\frac{2}{5}\right)^3\left(\frac{2}{5}\right)^4\left(\frac{2}{5}\right)^{-5}$ .

Se suman los exponentes: $3+4-5=2$ . Por tanto, el resultado es $\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}$ .

Resolver $\left[(2^x)^4\right]^2=2^{-24}$ .

Se obtiene $2^{8x}=2^{-24}$ . Al igualar exponentes, $8x=-24$ , de donde $x=-3$ .

Fórmulas y ecuaciones

$a^0=1$

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

$(ab)^n=a^n b^n$

$a^m\cdot$ $a^n=a^{m+n}$

$a^m\div$ $a^n=a^{m-n}$

$(a^m)^n=a^{mn}$

$a^{-n}=$ $\frac{1}{a^n}$

$a^{$ $\frac{m}{n}$ }= $\sqrt[n]{a^m}$

Glosario (5)

Base: Número o expresión que se multiplica por sí misma según indica el exponente.
Exponente: Número que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
Potencia: Expresión formada por una base y un exponente.
Exponente negativo: Exponente que convierte la potencia en el recíproco de la potencia con exponente positivo.
Potencia de una potencia: Propiedad según la cual se multiplican los exponentes: $(a^m)^n=a^{mn}$.

Preguntas para practicar

¿Por qué al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes?

¿Cómo se transforma una potencia con exponente negativo?

¿Por qué una base negativa elevada a un exponente par produce un resultado positivo?

Temas y conceptos clave

Propiedades de las potenciasExponentes negativos y fraccionariosEcuaciones exponencialesAnálisis de afirmaciones matemáticasProducto de potencias de igual baseCociente de potencias de igual basePotencia de una potenciaExponente ceroExponente negativoConversión entre radicales y exponentes fraccionarios

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