Potenciación de números reales y notación científica

Usamos (x+y)^2=x^2+2xy+y^2.

Al comparar, (x+y)^2 no es igual, en general, a x^2+y^2. La diferencia es el término 2xy, porque (x+y)^2=x^2+2xy+y^2.

Con a=-1, b=3 y c=2:

a) \left(\frac{a}{b}\right)^3\left(\frac{a}{b}\right)^{-2}-\left[\left(-\frac{c}{b}\right)^2\right]^2=\left(-\frac{1}{3}\right)^{3-2}-\left[\left(-\frac{2}{3}\right)^2\right]^2 =-\frac{1}{3}-\left(\frac{4}{9}\right)^2=-\frac{1}{3}-\frac{16}{81}=-\frac{43}{81}.

b) \left(\frac{b}{c}\right)^2\div\left(\frac{b}{c}\right)^{-1}-\left[\left(-\frac{a}{c}\right)^3\right]^{-1}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2-(-1)}-\left[\left(\frac{1}{2}\right)^3\right]^{-1} =\frac{27}{8}-8=-\frac{37}{8}.

Se desplaza la coma hasta dejar una sola cifra distinta de cero a la izquierda.

a) 4\,000\,000=4\times10^6

b) 141\,000\,000\,000=1,41\times10^{11}

c) 0,00008=8\times10^{-5}

d) 0,000000246=2,46\times10^{-7}

e) 29\,000\,000=2,9\times10^7

f) 0,0000000579=5,79\times10^{-8}

g) 0,00021137=2,1137\times10^{-4}

h) 730\,000\,000\,000=7,3\times10^{11}

i) 567\,000\,000\,000=5,67\times10^{11}

j) 0,000000125=1,25\times10^{-7}

k) 322\,000\,000=3,22\times10^8

l) 4\,200\,000=4,2\times10^6

m) 0,000346=3,46\times10^{-4}

n) 734\,100=7,341\times10^5

o) 0,0128=1,28\times10^{-2}

a) 0,000278=2,78\times10^{-4}.

b) 310\,000\,000=3,1\times10^8.

c) 0,0000009=9\times10^{-7}.

d) 0,0067=6,7\times10^{-3}.

Se mueve la coma hacia la derecha cuando el exponente es positivo y hacia la izquierda cuando es negativo.

a) 5,1\times10^{-5}=0,000051

b) 9,9\times10^3=9\,900

c) 1,7\times10^5=170\,000

d) 1,3\times10^{-1}=0,13

e) 9,3\times10^{-4}=0,00093

f) 6,4\times10^6=6\,400\,000

g) 8,2\times10^{-6}=0,0000082

h) 0,2\times10^6=200\,000

Ejemplos usando el número irracional \sqrt{2}:

• Producto de potencias de igual base: (\sqrt{2})^2\cdot(\sqrt{2})^3=(\sqrt{2})^5.
• Cociente de potencias de igual base: (\sqrt{2})^5\div(\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^3.
• Potencia de una potencia: ((\sqrt{3})^2)^3=(\sqrt{3})^6.
• Potencia de un producto: (\sqrt{2}\cdot\sqrt{5})^2=(\sqrt{10})^2=10.
• Potencia de un cociente: \left(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{6}{2}=3.

10^3 corresponde a kilo (k); 10^6, a mega (M); 10^9, a giga (G); 10^{12}, a tera (T); 10^{-3}, a mili (m); 10^{-6}, a micro (\mu); 10^{-9}, a nano (n); y 10^{-12}, a pico (p).