Raíces, potencias y propiedades de los radicales

a) Como \left(\frac{2}{5}\right)^5=\frac{32}{3125} y el radicando es negativo: \sqrt[5]{-\frac{32}{3125}}=-\frac{2}{5}.

b) \sqrt[2]{\frac{121}{\pi^8}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{\pi^8}}=\frac{11}{\pi^4}.

c) 0,000216=(0,06)^3, por tanto, \sqrt[3]{0,000216}=0,06.

d) \frac{e^{16}}{81}=\frac{(e^4)^4}{3^4}, por lo tanto, \sqrt[4]{\frac{e^{16}}{81}}=\frac{e^4}{3}.

Se igualan los exponentes de las potencias con la misma base.

a) 3^{1/2}=x^{3/6}, de donde x=3.

b) 6^{1/2}=6^{x/8}, entonces x=4.

c) 7^{1/9}=7^{5/x}, por lo que \frac{5}{x}=\frac{1}{9} y x=45.

d) 5^2=5^{x/27}, así que \frac{x}{27}=2 y x=54.

e) 5^{1/2}=|x|^{1/2}, entonces |x|=5 y x=5 o x=-5.

f) 3^{1/2}=3^{x/6}, por lo que x=3.

g) a^{1/2}=a^{6/x}, entonces \frac{6}{x}=\frac{1}{2} y x=12.

h) 6^{1/5}=6^{3/x}, por lo que \frac{3}{x}=\frac{1}{5} y x=15.

i) 7^3=7^{12/x}, así que \frac{12}{x}=3 y x=4.

j) Para m\neq 0 y una base distinta de 1, 1=\left(\sqrt[3]{m^2}\right)^x se cumple cuando x=0.

a) \sqrt[3]{\sqrt{64\pi^6}}=\sqrt[3]{8\pi^3}=2\pi.

b) \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{8e^{24}}}}=\sqrt{\sqrt{2e^8}}=\sqrt[4]{2}\,e^2.

c) \sqrt{8e^2\times72\pi^4\times225}=\sqrt{2^6\times3^4\times5^2\times e^2\times\pi^4}=360e\pi^2.

d) \sqrt[3]{\frac{-0,125}{-729}}=\sqrt[3]{\frac{1}{5832}}=\sqrt[3]{\frac{1}{18^3}}=\frac{1}{18}.

e) \sqrt[5]{\frac{32\pi^{10}}{1024^{-1}}}=\sqrt[5]{32\times1024\pi^{10}}=\sqrt[5]{2^{15}\pi^{10}}=8\pi^2.

f) \sqrt{\frac{\sqrt2}{\sqrt3}}\times\sqrt{\frac{\sqrt2}{\sqrt3}}=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}=\sqrt{\frac{2}{3}}.

g) \sqrt[3]{64m^6}=\sqrt[3]{4^3m^6}=4m^2.

h) \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{8}=2.

i) \sqrt{\frac12}\cdot\sqrt{\frac18}=\sqrt{\frac1{16}}=\frac14.

j) \left(\sqrt[6]{0,49x^2}\right)^3=(0,49x^2)^{3/6}=\sqrt{0,49x^2}=0,7|x|.

k) \sqrt[5]{2}\div\sqrt[5]{\frac1{16}}=\sqrt[5]{\frac{2}{1/16}}=\sqrt[5]{32}=2.

l) \sqrt{0,25\cdot0,36}=\sqrt{0,09}=0,3.