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Raíces, potencias y propiedades de los radicales

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) $-\frac{2}{5}$ ; b) $\frac{11}{\pi^4}$ ; c) $0,06$ ; d) $\frac{e^4}{3}$ .
a) $3$ ; b) $4$ ; c) $45$ ; d) $54$ ; e) $x=\pm5$ ; f) $3$ ; g) $12$ ; h) $15$ ; i) $4$ ; j) $0$ .
a) $2\pi$ ; b) $\sqrt[4]{2}e^2$ ; c) $360e\pi^2$ ; d) $\frac{1}{18}$ ; e) $8\pi^2$ ; f) $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ; g) $4m^2$ ; h) $2$ ; i) $\frac14$ ; j) $0,7|x|$ ; k) $2$ ; l) $0,3$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 58

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Cálculo y justificación de raíces

Ejercicio a

** Como $\left(\frac{2}{5}\right)^5=\frac{32}{3125}$ y el radicando es negativo:

$\sqrt[5]{-\frac{32}{3125}}=-\frac{2}{5}.$

Ejercicio b

$\sqrt[2]{\frac{121}{\pi^8}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{\pi^8}}=\frac{11}{\pi^4}.$

Ejercicio c

$0,000216=(0,06)^3,$ por tanto, $\sqrt[3]{0,000216}=0,06.$

Ejercicio d

$\frac{e^{16}}{81}=\frac{(e^4)^4}{3^4},$ por lo tanto, $\sqrt[4]{\frac{e^{16}}{81}}=\frac{e^4}{3}.$

Ejercicio 2

Valores de $x$

Se igualan los exponentes de las potencias con la misma base.

Ejercicio a

** $3^{1/2}=x^{3/6}$, de donde $x=3$.

Ejercicio b

** $6^{1/2}=6^{x/8}$, entonces $x=4$.

Ejercicio c

** $7^{1/9}=7^{5/x}$, por lo que $\frac{5}{x}=\frac{1}{9}$ y $x=45$.

Ejercicio d

** $5^2=5^{x/27}$, así que $\frac{x}{27}=2$ y $x=54$.

Ejercicio e

** $5^{1/2}=|x|^{1/2}$, entonces $|x|=5$ y $x=5$ o $x=-5$.

Ejercicio f

** $3^{1/2}=3^{x/6}$, por lo que $x=3$.

Ejercicio g

** $a^{1/2}=a^{6/x}$, entonces $\frac{6}{x}=\frac{1}{2}$ y $x=12$.

Ejercicio h

** $6^{1/5}=6^{3/x}$, por lo que $\frac{3}{x}=\frac{1}{5}$ y $x=15$.

Ejercicio i

** $7^3=7^{12/x}$, así que $\frac{12}{x}=3$ y $x=4$.

Ejercicio j

** Para $m\neq 0$ y una base distinta de $1$, $1=\left(\sqrt[3]{m^2}\right)^x$ se cumple cuando $x=0$.

Ejercicio 3

Aplicación de propiedades

Ejercicio a

$\sqrt[3]{\sqrt{64\pi^6}}=\sqrt[3]{8\pi^3}=2\pi.$

Ejercicio b

$\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{8e^{24}}}}=\sqrt{\sqrt{2e^8}}=\sqrt[4]{2}\,e^2.$

Ejercicio c

$\sqrt{8e^2\times72\pi^4\times225}=\sqrt{2^6\times3^4\times5^2\times e^2\times\pi^4}=360e\pi^2.$

Ejercicio d

$\sqrt[3]{\frac{-0,125}{-729}}=\sqrt[3]{\frac{1}{5832}}=\sqrt[3]{\frac{1}{18^3}}=\frac{1}{18}.$

Ejercicio e

$\sqrt[5]{\frac{32\pi^{10}}{1024^{-1}}}=\sqrt[5]{32\times1024\pi^{10}}=\sqrt[5]{2^{15}\pi^{10}}=8\pi^2.$

Ejercicio f

$\sqrt{\frac{\sqrt2}{\sqrt3}}\times\sqrt{\frac{\sqrt2}{\sqrt3}}=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}=\sqrt{\frac{2}{3}}.$

Ejercicio g

$\sqrt[3]{64m^6}=\sqrt[3]{4^3m^6}=4m^2.$

Ejercicio h

$\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{8}=2.$

Ejercicio i

$\sqrt{\frac12}\cdot\sqrt{\frac18}=\sqrt{\frac1{16}}=\frac14.$

Ejercicio j

$\left(\sqrt[6]{0,49x^2}\right)^3=(0,49x^2)^{3/6}=\sqrt{0,49x^2}=0,7|x|.$

Ejercicio k

$\sqrt[5]{2}\div\sqrt[5]{\frac1{16}}=\sqrt[5]{\frac{2}{1/16}}=\sqrt[5]{32}=2.$

Ejercicio l

$\sqrt{0,25\cdot0,36}=\sqrt{0,09}=0,3.$

Contenido de la página

Evaluación formativa

La página presenta tres grupos de actividades:

Hallar raíces: se calculan raíces exactas de fracciones, decimales y expresiones con letras.
Encontrar valores de $x$ : se transforman los radicales en potencias y se igualan exponentes.
Aplicar propiedades: se simplifican productos, cocientes y radicales anidados.

Ejemplos resueltos

Calcula $\sqrt[3]{-\frac{8}{343}}$ .

Como $8=2^3$ y $343=7^3$ , entonces $\sqrt[3]{-\frac{8}{343}}=-\frac{2}{7}$ .

Fórmulas y ecuaciones

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

$a^r=a^s\Rightarrow r=s$ , si $a>0$ y $a\neq1$

$\sqrt[n]{a^n}=a$ cuando $n$ es impar

$\sqrt{x^2}=|x|$

$\sqrt[n]{a^m}@@MATH_0@@\frac{m}{n}$ }

$\sqrt[n]{ab}$ = $\sqrt[n]{a}@@MATH_0@@\sqrt[n]{b}$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ = $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

$\sqrt{x^2}$ =|x|

Glosario (5)

Radicando: Número o expresión que se encuentra dentro del signo radical.
Índice: Número pequeño que indica el tipo de raíz, como $2$ para la raíz cuadrada o $3$ para la raíz cúbica.
Raíz: Número que, elevado al índice del radical, produce el radicando.
Exponente fraccionario: Forma de escribir una raíz como potencia: $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$.
Valor absoluto: Distancia de un número al cero; siempre es no negativa y se representa por $|x|$.

Preguntas para practicar

¿Por qué la raíz cuadrada de $x^2$ se expresa como $|x|$?

¿Cómo se transforma un radical en una potencia de exponente fraccionario?

¿Qué diferencia existe entre una raíz de índice par y una de índice impar?

Temas y conceptos clave

Cálculo de raíces exactasConversión entre raíces y potenciasEcuaciones con exponentesPropiedades de los radicalesUna raíz puede expresarse como una potencia de exponente fraccionario.En potencias de la misma base se pueden igualar los exponentes.La raíz de un producto puede separarse en el producto de las raíces.La raíz cuadrada de una expresión al cuadrado representa su valor absoluto.

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