Propiedades de la radicación de números reales

Aplicamos la propiedad de la raíz de un producto: \sqrt{4\pi^2\cdot\sqrt{5}}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{\pi^2}\cdot\sqrt{\sqrt{5}}

Simplificamos cada radical: \sqrt{2^2}=2,\qquad \sqrt{\pi^2}=\pi,\qquad \sqrt{\sqrt{5}}=\sqrt[4]{5}

Por tanto: \sqrt{4\pi^2\cdot\sqrt{5}}=2\pi\sqrt[4]{5}

Descomponemos en factores primos: \sqrt[5]{\frac{64e^{15}}{243}}=\sqrt[5]{\frac{2^5\cdot2\cdot e^{15}}{3^5}}

Aplicamos la propiedad distributiva de la raíz: \frac{\sqrt[5]{2^5}\cdot\sqrt[5]{2}\cdot\sqrt[5]{e^{15}}}{\sqrt[5]{3^5}}

Simplificamos las potencias que son múltiplos del índice 5: \sqrt[5]{2^5}=2,\qquad \sqrt[5]{e^{15}}=e^3,\qquad \sqrt[5]{3^5}=3

Ejemplo 2

Expresar \sqrt[7]{2\varphi^3} en forma de potencia.

Aplicamos la propiedad de la raíz de un producto: \sqrt[7]{2\varphi^3}=\sqrt[7]{2}\cdot\sqrt[7]{\varphi^3}

Expresamos cada radical como potencia con exponente fraccionario: \sqrt[7]{2}=2^{\frac{1}{7}},\qquad \sqrt[7]{\varphi^3}=\varphi^{\frac{3}{7}}

Por tanto: \sqrt[7]{2\varphi^3}=2^{\frac{1}{7}}\cdot\varphi^{\frac{3}{7}}

Recuerda

Los radicales \sqrt[4]{3^2} y \sqrt[8]{3^4} son semejantes porque, al simplificarlos, ambos se convierten en \sqrt{3}. Los radicales \sqrt[5]{2}, \sqrt[5]{13} y \sqrt[5]{3} son homogéneos porque tienen el mismo índice, aunque sus cantidades subradicales son diferentes.