Para calcular el área de un polígono regular usamos:

A=\frac{P\cdot a}{2}

El pentágono tiene 5 lados de 25\ \text{mm}, por lo tanto:

P=5\cdot25=125\ \text{mm}

La apotema mide 17,2\ \text{mm}. Entonces:

A=\frac{125\cdot17,2}{2}=\frac{2150}{2}=1075\ \text{mm}^2

La opción correcta es la b.

Se verifica cada igualdad.

Igualdad 1

\left(\sqrt{\sqrt{2}}\right)^{-4}-\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{4}\times1\frac{1}{3}\right)

Como \sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac14}:

\left(2^{\frac14}\right)^{-4}=2^{-1}=\frac12

Además, 1\frac{1}{3}=\frac43, por lo que:

\frac14\times\frac43=\frac13

Así:

\frac12-\frac32+\frac13=-1+\frac13=-\frac23

La igualdad 1 es verdadera.

Igualdad 2

Los decimales periódicos se convierten así:

0,33\ldots=\frac13,\qquad 1,22\ldots=\frac{11}{9}

Entonces:

0,5+1,22\ldots-\left(0,33\ldots+\frac29\right)^{-1}

=\frac12+\frac{11}{9}-\left(\frac13+\frac29\right)^{-1}

=\frac12+\frac{11}{9}-\left(\frac59\right)^{-1}

=\frac12+\frac{11}{9}-\frac95=-\frac{7}{90}

Como -\frac{7}{90}\ne-\frac79, la igualdad 2 es falsa.

Igualdad 3

\left(\frac35\pi-\frac25\pi\right)\left[\left(\frac1\pi\right)^{-1}\times\sqrt{\frac{25}{16\pi^4}}\right]

Primero:

\frac35\pi-\frac25\pi=\frac15\pi

También:

\left(\frac1\pi\right)^{-1}=\pi

y

\sqrt{\frac{25}{16\pi^4}}=\frac{5}{4\pi^2}

Por tanto:

\frac{\pi}{5}\left(\pi\times\frac{5}{4\pi^2}\right)=\frac{\pi}{5}\cdot\frac{5}{4\pi}=\frac14

La igualdad 3 es verdadera.

Igualdad 4

Simplificamos cada radical:

\sqrt{27}=3\sqrt3

5\sqrt{128}=5\cdot8\sqrt2=40\sqrt2

\sqrt{243}=9\sqrt3

4\sqrt{200}=4\cdot10\sqrt2=40\sqrt2

Entonces:

3\sqrt3+40\sqrt2-9\sqrt3+40\sqrt2

=80\sqrt2-6\sqrt3

Como el resultado no es 80\sqrt2+6\sqrt3, la igualdad 4 es falsa.

Por consiguiente, las igualdades verdaderas son la 1 y la 3.