Olimpiadas matemáticas

Resolución de los ejercicios

La figura está formada por cuadrados de lados 24\ \text{cm}, 16\ \text{cm} y 10\ \text{cm}. La diagonal va desde la esquina superior izquierda del primer cuadrado hasta la esquina inferior derecha del tercero.

La longitud horizontal total es 24+16+10=50\ \text{cm} y el descenso total es de 24\ \text{cm}. Por tanto, la recta desciende \frac{24}{50}=0,48\ \text{cm} por cada centímetro horizontal.

• En el primer cuadrado, la región verde es un triángulo de base 24 y altura 24-0,48(24)=11,52: A_1=\frac{24\times 11,52}{2}=138,24\ \text{cm}^2
• En el segundo cuadrado, las alturas verde en sus extremos son 3,52 y 11,2: A_2=\frac{3,52+11,2}{2}\times16=117,76\ \text{cm}^2
• En el tercer cuadrado, las alturas verde en sus extremos son 5,2 y 10: A_3=\frac{5,2+10}{2}\times10=76\ \text{cm}^2

Entonces: A_{\text{verde}}=138,24+117,76+76=332\ \text{cm}^2

El cuadrado tiene área 6\times6=36\ \text{cm}^2. Al dividirse en tres regiones iguales, cada región tiene área: \frac{36}{3}=12\ \text{cm}^2

La región triangular CBN tiene base NB y altura 6: \frac{NB\times6}{2}=12 3NB=12 NB=4\ \text{cm}

Sea n el número de intentos iniciales. Como su promedio era 3,80\ \text{m}, la distancia total era 3,80n.

Después de saltar 3,99\ \text{m}, el promedio fue 3,81\ \text{m}: \frac{3,80n+3,99}{n+1}=3,81 3,80n+3,99=3,81n+3,81 0,18=0,01n n=18

Después de 19 intentos, la distancia total es: 3,81\times19=72,39\ \text{m}

Para que el promedio de 20 intentos sea 3,82\ \text{m}, la distancia total debe ser: 3,82\times20=76,40\ \text{m}

El próximo salto debe medir: 76,40-72,39=4,01\ \text{m}

En cada ronda queda la mitad, redondeando hacia arriba cuando el número es impar:

100\to50\to25\to13\to7\to4\to2\to1

Se cuentan siete transformaciones hasta llegar a un solo ganador. Por lo tanto, deben pasar 7 rondas.

Los números del 1 al 9 se agrupan según su residuo al dividir entre 3:

• Residuo 0: \{3,6,9\}.
• Residuo 1: \{1,4,7\}.
• Residuo 2: \{2,5,8\}.

Sean a, b y c las cantidades elegidas de cada grupo. Se necesita a+b+c=7 y b+2c múltiplo de 3.

Las únicas posibilidades son (a,b,c)=(1,3,3) y (3,2,2).

• Para (1,3,3): \binom{3}{1}\binom{3}{3}\binom{3}{3}=3 formas.
• Para (3,2,2): \binom{3}{3}\binom{3}{2}\binom{3}{2}=9 formas.

Total: 3+9=12

El cuadrado interior tiene área 81\ \text{cm}^2, por lo que su lado mide: \sqrt{81}=9\ \text{cm}

Sea w el ancho de la franja derecha. Como la figura completa es un cuadrado: x=9+w

La franja derecha tiene área 18\ \text{cm}^2 y dimensiones w por x: wx=18

Sustituyendo x=9+w: w(9+w)=18 w^2+9w-18=0 w=\frac{-9+15}{2}=3\ \text{cm}

Por tanto: x=9+3=12\ \text{cm}