Cuadrados mágicos: de China a Europa y el grabado Melancolía de Durero

Verificar que el cuadrado mágico del grabado Melancolía de Alberto Durero tenga constante mágica 34 sumando sus filas.

1. Primera fila: 16 + 3 + 2 + 13.
2. Calculamos: 16 + 3 = 19; 19 + 2 = 21; 21 + 13 = 34.
3. Segunda fila: 5 + 10 + 11 + 8 = 15 + 11 + 8 = 26 + 8 = 34.
4. Tercera fila: 9 + 6 + 7 + 12 = 15 + 7 + 12 = 22 + 12 = 34.
5. Cuarta fila: 4 + 15 + 14 + 1 = 19 + 14 + 1 = 33 + 1 = 34.

Comprobar la constante mágica 34 sumando las columnas.

1. Columna 1: 16 + 5 + 9 + 4 = 21 + 9 + 4 = 30 + 4 = 34.
2. Columna 2: 3 + 10 + 6 + 15 = 13 + 6 + 15 = 19 + 15 = 34.
3. Columna 3: 2 + 11 + 7 + 14 = 13 + 7 + 14 = 20 + 14 = 34.
4. Columna 4: 13 + 8 + 12 + 1 = 21 + 12 + 1 = 33 + 1 = 34.

Comprobar la constante mágica 34 en las dos diagonales.

1. Diagonal principal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha): 16 + 10 + 7 + 1.
2. Calculamos: 16 + 10 = 26; 26 + 7 = 33; 33 + 1 = 34.
3. Diagonal secundaria: 13 + 11 + 6 + 4.
4. Calculamos: 13 + 11 = 24; 24 + 6 = 30; 30 + 4 = 34.

Identificar las cuatro casillas de la esquina y los cuatro números del centro, y verificar que cada conjunto suma 34.

1. Casillas de las esquinas: 16 (sup. izq.), 13 (sup. der.), 4 (inf. izq.), 1 (inf. der.).
2. Suma: 16 + 13 + 4 + 1 = 29 + 4 + 1 = 34.
3. Casillas centrales: 10, 11, 6, 7.
4. Suma: 10 + 11 + 6 + 7 = 21 + 6 + 7 = 28 + 7 = 35.

Comprobar que el cuadrado contiene los números del 1 al 16 sin repetir ninguno.

1. Ordenamos los números del cuadrado: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.
2. Verificamos que cada uno aparece exactamente una vez.
3. Suma total: S = \frac{n(n+1)}{2} con n = 16, es decir S = \frac{16 \times 17}{2} = 136.
4. Como hay 4 filas de suma 34: 4 \times 34 = 136, coincide.

Explicar por qué el cuadrado de Durero es considerado sorprendente (gran cantidad de maneras de sumar 34).

1. Además de filas, columnas y diagonales, otras formas de obtener 34 son:
2. Las cuatro esquinas: 16 + 13 + 4 + 1 = 34.
3. Las cuatro casillas centrales: 10 + 11 + 6 + 7 = 34.
4. Cada esquina con su opuesta (2x2): (16 + 10 + 5 + 3) = 34, (2 + 13 + 8 + 11) = 34 (el cuadrado 2 \times 2 superior izquierdo: 16+3+5+10 = 34).
5. Los cuatro números de la fila superior e inferior alternados: 16 + 2 + 15 + 1 = 34 y 3 + 13 + 4 + 14 = 34.