SEP/CONALITEG

110/163

El Gran Hotel Cantor: el infinito de Georg Cantor

📄 introduccion matematica 🎓 secundaria · 1° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

Página 110

110 de 163

Anterior Página 110 / 163 Siguiente

Respuesta rápida

Georg Cantor fue el matemático que fundó la teoría de conjuntos y demostró que existen distintos tamaños de infinito. La regla del hotel anticipa el Hotel de Hilbert.

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 110

Colección Ximhai. Múltiples lenguajes. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Contexto de la página

La página 110 pertenece a una narración literaria (no a una sección de ejercicios). El texto presenta a Georg Cantor, matemático alemán de origen ruso, y menciona su teoría sobre el infinito. El relato anticipa el famoso Hotel de Hilbert, una parábola matemática que explica cómo un hotel con infinitas habitaciones, aunque esté "lleno", puede alojar a más huéspedes.

Paso 1. ¿Quién fue Georg Cantor?

Georg Cantor (1845-1918) fue un matemático nacido en San Petersburgo (Rusia) y nacionalizado alemán. Es el fundador de la teoría de conjuntos y de la teoría de los números transfinitos, con la que demostró que existen distintos "tamaños" de infinito.

Paso 2. ¿Qué significa "inventar el infinito"?

El narrador aclara que Cantor no inventó el infinito, sino que construyó una teoría que justifica su existencia matemática. Cantor demostró que el conjunto de los números naturales $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ y el de los números reales $\mathbb{R}$ tienen cardinalidades distintas:

$\aleph_0 = |\mathbb{N}| < |\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0}$

Es decir, hay infinitos "más grandes" que otros.

Paso 3. La regla del hotel y su significado matemático

La regla del Gran Hotel Cantor —"si alguien se queda, puede ser transferido de habitación varias veces"— es la clave del Hotel de Hilbert. Si el hotel tiene infinitas habitaciones numeradas $1, 2, 3, \dots$ y está lleno, se puede alojar a un nuevo huésped pidiendo al de la habitación $n$ que se mueva a la $n+1$ . Así queda libre la habitación $1$ .

Paso 4. ¿Por qué el papá se volvió millonario?

En el relato, el padre aplica estos "trucos" del curso de capacitación para aceptar más huéspedes en un hotel que ya estaba lleno. La idea matemática detrás es que un conjunto infinito puede ponerse en biyección con un subconjunto propio, algo imposible en conjuntos finitos.

Respuesta orientativa: La página introduce de forma literaria la teoría del infinito de Georg Cantor y anticipa el Hotel de Hilbert, mostrando que un conjunto infinito puede alojar "más" elementos sin dejar de ser infinito.

Contenido de la página

Le encantaba contarme historias del hotel. Mi favorita era la del nombre: se llamaba Gran Hotel Cantor en honor a Georg Cantor, un matemático ruso que inventó el infinito, según mi papá. A mí me sonaba como si el tal Cantor fuera un dios, porque eso de inventar el infinito... —luego me enteré de que, en realidad, lo que había hecho era una teoría que justificaba la existencia del infinito—. Sin embargo, la historia favorita de mi papá era la de la noche cuando se volvió millonario. Creo que yo la escuché doscientas veces por lo menos y, gracias a eso, puedo contarla ahora con tanta claridad.

Lo primero en la historia era la regla más importante para los huéspedes: "Si una persona decide quedarse en el hotel, debe aceptar que pueda ser transferida de habitación varias veces a lo largo de su estancia". Luego empezaba a contar la parte que a mí me gustaba más:

—Era uno de esos días en que el hotel estaba lleno. A lo largo del día, me gustaba pensar en las historias de la gente que se quedaba en el hotel (debo confesar que yo nunca pude imaginarme el hotel lleno, pero le creía a mi papá. Además, éramos millonarios y nunca encontré ninguna otra razón que explicara ese hecho).

En el curso de capacitación para los trabajadores, nos habían enseñado algunos trucos para aceptar más gente cuando el hotel estuviera lleno.

—Ay, papá, ¿a poco metías gente en un cuarto que ya estuviera ocupado? (A mi papá le gustaba que preguntáramos siempre lo mismo, como si fuera la primera vez que nos contaba la historia).

Ilustración: torre rosa del Gran Hotel Cantor que se pierde entre las nubes, con un letrero en la entrada y árboles a los lados.

Ejemplos resueltos

Si el Gran Hotel Cantor tiene infinitas habitaciones numeradas $1, 2, 3, \dots$ y todas están ocupadas, ¿cómo se aloja a un nuevo huésped?

Se pide al huésped de la habitación $n$ que se mude a la habitación $n+1$ . Así, la habitación $1$ queda libre para el nuevo huésped. Formalmente, se define la función $f(n) = n+1$ , que es una biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}\setminus\{1\}$ .

Diagrama

graph LR
  A[Gran Hotel Cantor] --> B[Infinitas habitaciones]
  B --> C[Hotel lleno]
  C --> D[Llega nuevo huésped]
  D --> E[Cada huésped n pasa a n+1]
  E --> F[Habitación 1 libre]
  F --> G[Se aloja al nuevo huésped]

Fórmulas y ecuaciones

$\aleph_0$ = | $\mathbb{N}$ | < | $\mathbb{R}$ | = $2^{\aleph_0}$

$\aleph_0$ = | $\mathbb{N}$ |

| $\mathbb{N}$ | < | $\mathbb{R}$ |

n $\mapsto$ n+1

Glosario (5)

Infinito: Concepto matemático que designa una cantidad sin límite ni fin.
Georg Cantor: Matemático (1845-1918) fundador de la teoría de conjuntos y de los números transfinitos.
Hotel de Hilbert: Parábola matemática que ilustra las propiedades contraintuitivas de los conjuntos infinitos.
Huésped: Persona que se aloja en un hotel.
Transfinito: Número que describe el tamaño de un conjunto infinito.

Preguntas para practicar

¿Por qué el narrador dice que Cantor no inventó el infinito, sino que justificó su existencia?

Porque el infinito ya existía como idea intuitiva en la filosofía y las matemáticas; lo que hizo Cantor fue construir una teoría rigurosa (la teoría de conjuntos) que demostró que el infinito puede tratarse matemáticamente y que existen distintos tamaños de infinito.

¿Qué relación tiene la regla del hotel con la teoría matemática del infinito?

La regla de cambiar de habitación representa la propiedad de los conjuntos infinitos de poder ponerse en biyección con un subconjunto propio. Es la base del Hotel de Hilbert, que muestra que un conjunto infinito puede 'alojar' más elementos sin dejar de ser infinito.

Temas y conceptos clave

Georg CantorEl infinito matemáticoHotel de HilbertNarración literaria con contenido matemáticoInfinito actualCardinalidadConjunto infinitoBiyecciónTeoría de conjuntos

Fuentes y referencias

Georg Cantor, 'Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers' (1895)
David Hilbert, conferencia 'Über das Unendliche' (1925)

¿Te fue útil esta página?

Preguntas que la gente también hace

¿Quién fue Georg Cantor y qué aportó a las matemáticas?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué es el Hotel de Hilbert y cómo explica el infinito?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Existen distintos tamaños de infinito?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Conocer los números naturales
• Noción intuitiva de conjunto
• Lectura comprensiva de textos narrativos

Siguiente tema sugerido

El Hotel de Hilbert y la cardinalidad del infinito

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1564 caracteres

Le encantaba contarme historias del hotel. Mi favorita era la del nombre: se llamaba Gran Hotel Cantor en honor a Georg Cantor, un matemático ruso que inventó el infinito, según mi papá. A mí me sonaba como si el tal Cantor fuera un dios,porque eso de inventar el infinito.. —luego me enteré de que.en realidad, lo que habia hecho era una teoria que justificaba la existencia del infinito—. Sin embargo, la historia favorita de mi papá era la de la noche cuando se volvió millonario. Creo que yo la escuché doscientas veces por lo menos y. gracias a eso, puedo contarla ahora con tanta claridad.

Lo primero en la historia era la regla más importante para los huéspedes:"Si una persona decide quedarse en el hotel, debe aceptar que pueda ser transferida de habitación varias veces a lo largo de su estancia". Luego empezaba a contar la parte que a mí me gustaba más:

—Era uno de esos dias en que el hotel estaba lleno. A lo largo del dia, me gustaba pensar en las historias de la gente que se quedaba en el hotel (debo confesar que yo nunca pude imaginarme el hotel lleno, pero le creia a mi papá.Además, éramos millonarios y nunca encontré ninguna otra razón que explicara ese hecho).

En el curso de capacitación para los trabajadores, nos habian ensenado algunos trucos para aceptar más gente cuando el hotel estuviera lleno.

—Ay, papá, ja poco metías gente en un cuarto que ya estuviera ocupado? (A mi papá le gustaba que preguntáramos siempre lo mismo, como si fuera la primera vez que nos contaba la historia).

109烤

![](page=0,bbox=[261, 594, 996, 1134])

Páginas cercanas