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El hotel infinito: el truco de las habitaciones pares e impares

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Respuesta rápida

El hotel sigue teniendo una sola infinidad de cuartos. Al multiplicar por 2 cada número se liberan las impares, que también son infinitas, y en ellas se aloja la nueva excursión.

📚 theory matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 112

Colección Ximhai. Múltiples lenguajes. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Contexto matemático

La página es una narración literaria basada en el Hotel Infinito de Hilbert, un experimento mental sobre conjuntos infinitos. No contiene ejercicios con incisos, pero sí una idea matemática central que conviene explicar.

Paso 1. El problema

El hotel tiene habitaciones numeradas $1, 2, 3, 4, \dots$ y todas están ocupadas por una infinidad de huéspedes. Llega una nueva infinidad de personas (una excursión). ¿Hay lugar para todos?

Paso 2. El truco del recepcionista

Se pide a cada huésped actual que se mude a la habitación con el doble de su número:

$n \;\longrightarrow\; 2n$

Así, el huésped de la 1 pasa a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6, etc.

Paso 3. Habitaciones que quedan libres

Solo se ocupan las habitaciones con número par: $2, 4, 6, 8, \dots$

Quedan libres todas las impares: $1, 3, 5, 7, \dots$

Paso 4. Alojar a la nueva infinidad

Cada nuevo huésped ocupa una habitación impar. Como hay infinitas impares, todos tienen cuarto.

Paso 5. La idea profunda

El conjunto de los pares y el de los impares tienen la misma cardinalidad que el de los naturales. Por eso, sumar una infinidad a otra infinidad no agranda el infinito: sigue siendo el mismo infinito numerable $\aleph_0$ .

Respuesta orientativa: El hotel no tiene 'dos infinidades'; sigue teniendo una sola infinidad de cuartos. Lo que ocurre es que un conjunto infinito puede ponerse en correspondencia uno a uno con un subconjunto propio (los pares), propiedad que define a los conjuntos infinitos.

Contenido de la página

Las agencias de viajes, que reservaban lugar para grandes excursiones, tenían una hora específica de llegada: las 20 horas. A mí me gustaba atenderlos bien, así que todos los días, a las 19:30, revisaba si había alguna reservación y, en caso de que la hubiera, dejaba las habitaciones disponibles para que los nuevos huéspedes no tuvieran que esperar. Ese día, había una reservación para un número infinito de personas, así que realicé la segunda mudanza del día y dejé libres las habitaciones que necesitaría.

—¿Cómo, papá? ¿No se suponía que el hotel tenía sólo una infinidad de cuartos? Tú ahora me dices que, en realidad, tenía dos infinidades.

—No, no, yo no dije eso.

—Pero si el hotel estaba lleno, entonces había una infinidad de huéspedes y llegó otra infinidad, y tú los alojaste a todos.

—Sí, así es; ése era el segundo truco que nos habían enseñado, que en realidad no era muy complicado: lo que hice fue encender el micrófono y pedirles a los huéspedes que multiplicaran el número de su habitación por dos y se cambiaran al cuarto que tuviera el nuevo número (inciso b). De esa manera, sólo estaban ocupadas las habitaciones con números pares, pues todos los números multiplicados por dos son pares, y quedaban libres las que tenían números impares, y cada colección era una infinidad de habitaciones.

—Entonces podías meter dos excursiones infinitas al mismo tiempo en el hotel.

—Sí, pero eso no quiere decir que el hotel tenga dos infinidades, sino que es una característica maravillosa que se tiene por el simple hecho de ser infinito.

A las 20 horas en punto llegó la representante de la agencia y le indiqué las habitaciones que le correspondían. Desde ese momento, no hubo nada demasiado interesante que contar, hasta que se acercó la hora de cerrar la recepción (las 22 horas). Eran las 21:53, me acuerdo bien, y yo estaba acomodando todo para irme, cuando entró una señorita con cara de preocupación.

Citlali González Tapia y Daniela Estrello Montero, Cuernavaca, México.

Ejemplos resueltos

El hotel está lleno con infinitos huéspedes. Llega una excursión con infinitas personas. ¿Cómo se alojan todas?

Se pide a cada huésped actual mudarse a la habitación $2n$ .
Se ocupan solo las pares: $2,4,6,\dots$
Quedan libres las impares: $1,3,5,\dots$
Cada nuevo huésped ocupa una impar. Resultado: todos quedan alojados y el hotel sigue con una sola infinidad de cuartos.

Tabla

Huésped original	Habitación inicial	Nueva habitación (x2)
1	1	2
2	2	4
3	3	6
4	4	8
...	...	...
n	n	2n

Diagrama

flowchart LR
  A[Habitación 1] -->|x2| B[Habitación 2]
  C[Habitación 2] -->|x2| D[Habitación 4]
  E[Habitación 3] -->|x2| F[Habitación 6]
  G[Habitación 4] -->|x2| H[Habitación 8]
  I[Libres: 1, 3, 5, 7, ...] --> J[Nuevos huéspedes]

Fórmulas y ecuaciones

n $\to$ 2n

$\aleph_0$ + $\aleph_0$ = $\aleph_0$

n $\to$ 2n

$\{1,2,3,4,\dots\}$ $\leftrightarrow$ $\{2,4,6,8,\dots\}$

$\aleph_0$ + $\aleph_0$ = $\aleph_0$

Glosario (5)

Infinidad: Cantidad infinita; en el cuento se usa como sinónimo de un conjunto con infinitos elementos.
Mudanza: Cambio de habitación de un huésped a otra.
Número par: Número entero divisible entre 2; se obtiene al multiplicar cualquier natural por 2.
Número impar: Número entero que no es divisible entre 2; queda libre tras la mudanza.
Correspondencia uno a uno: Relación en la que a cada elemento de un conjunto le corresponde exactamente uno de otro.

Preguntas para practicar

¿Por qué el papá afirma que el hotel no tiene 'dos infinidades'?

Porque el conjunto de habitaciones sigue siendo el mismo conjunto infinito numerable. Al multiplicar por 2 solo se reacomodan los huéspedes dentro del mismo conjunto; no se crean habitaciones nuevas. La cardinalidad del conjunto no cambia.

¿Qué relación tiene el truco del hotel con los números pares e impares?

Al multiplicar cualquier número natural por 2 el resultado siempre es par, por lo que las habitaciones pares quedan ocupadas. Las impares, que también son infinitas, quedan disponibles para los nuevos huéspedes. Así se muestra que pares e impares tienen la misma cantidad de elementos.

Temas y conceptos clave

El Hotel Infinito de HilbertConjuntos infinitosCorrespondencia biunívocaNúmeros pares e imparesInfinito numerableCorrespondencia uno a unoSubconjunto propio de un conjunto infinitoMultiplicación por 2 como función biyectiva

Fuentes y referencias

David Hilbert, Hotel Infinito (experimento mental, 1924)
George Gamow, 'One, Two, Three... Infinity' (1947)

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Preguntas que la gente también hace

¿Qué es el Hotel Infinito de Hilbert y qué demuestra?

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¿Por qué un conjunto infinito puede tener el mismo tamaño que una de sus partes?

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¿Cómo se aloja a infinitos huéspedes en un hotel lleno?

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📌 Antes de leer esto

• Reconocer números naturales, pares e impares
• Multiplicar por 2
• Noción intuitiva de infinito

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El hotel infinito y la llegada de infinitas excursiones: el método de los números primos

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2036 caracteres

Las agencias de viajes, que reservaban lugar para grandes excursiones, tenian una hora especifica de llegada: las 20horas. A mí me gustaba atenderlos bien, así que todos los dias, a las 19:30, revisaba si habia alguna reservación y. en caso de que la hubiera, dejaba las habitaciones disponibles para que los nuevos huéspedes no tuvieran que esperar.Ese dia, habia una reservación para un número infinito de personas, así que realicé la segunda mudanza del dia y dejélibres las habitaciones que necesitaria.

—jCómo, papá? jNo se suponia que el hotel tenia sólo una infinidad de cuartos? Tú ahora me dices que, en realidad,tenia dos infinidades.

—No, no, yo no dije eso.

—Pero si el hotel estaba lleno, entonces habia una infinidad de huéspedes y llego otra infinidad, y tú los alojaste a todos.

—Si,así es; ése era el segundo truco que nos habian enseñado, que en realidad no era muy complicado: lo que hice fue encender el micrófono y pedirles a los huéspedes que multiplicaran el número de su habitación por dos y se cambiaran al cuarto que tuviera el nuevo número (inciso b). De esa manera, sólo estaban ocupadas las habitaciones con números pares, pues todos los números multiplicados por dos son pares, y quedaban libres las que tenfan números impares, y cada colección era una infinidad de habitaciones.

—Entonces podias meter dos excursiones infinitas al mismo tiempo en el hotel.

—Sí, pero eso no quiere decir que el hotel tenga dos infinidades, sino que es una caracteristica maravillosa que se tiene por el simple hecho de ser infinito.

A las 20 horas en punto llegó la representante de la agencia y le indiqué las habitaciones que le correspondian. Desde ese momento, no hubo nada demasiado interesante que contar, hasta que se acercó la hora de cerrar la recepción (las 22 horas). Eran las 21:53, me acuerdo bien, y yo estaba acomodando todo para irme, cuando entró una senorita con cara de preocupación.

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Citlali González Tapia y Daniela Estrello Montero, cwpaD DE wExico

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