Explica con tus palabras por qué en el Gran Hotel Cantor nadie se queda sin habitación cuando todos se cambian al cuarto n+1.

Nadie se queda sin cuarto porque no existe un último cuarto: para cada n siempre hay un n+1.

¿Qué pasaría si en lugar de sumar 1 a cada habitación se multiplicara por 2 el número de cuarto?

Quedarían libres todos los cuartos impares: infinitos lugares disponibles.

Libro de Multiples Lenguajes 1 EGB

SEP/CONALITEG

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El Gran Hotel Cantor: el hotel infinito de Hilbert

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Respuesta rápida

El hotel infinito siempre admite un huésped más: cada uno pasa de $n$ a $n+1$ y el cuarto $1$ queda libre. No hay último cuarto porque $\mathbb{N}$ es infinito.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 111

Colección Ximhai. Múltiples lenguajes. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Contexto matemático: el hotel infinito de Hilbert

El texto narra una versión del famoso hotel infinito de Hilbert. Un hotel con infinitas habitaciones numeradas $1, 2, 3, \dots$ está completamente lleno, pero aun así admite nuevos huéspedes.

Paso 1. Situación inicial

El hotel tiene habitaciones numeradas con los números naturales:

$1, 2, 3, 4, 5, \dots$

Cada habitación está ocupada por un huésped. Aun así, el hotel está "lleno" pero no "saturado", porque el conjunto de habitaciones es infinito numerable.

Paso 2. Llega un nuevo huésped

El recepcionista anuncia por micrófono:

"Revisen el número de su habitación, ahora súmenle uno y cámbiense a la habitación correspondiente".

Es decir, cada huésped de la habitación $n$ se muda a la habitación $n+1$ :

$n \to n+1$

Huésped del cuarto $1$ pasa al $2$ .
Huésped del cuarto $2$ pasa al $3$ .
Huésped del cuarto $3$ pasa al $4$ .
En general, el huésped del cuarto $n$ pasa al $n+1$ .

Paso 3. ¿Por qué nadie se queda sin cuarto?

Como los números naturales no tienen un "último" elemento, para cada huésped del cuarto $n$ siempre existe el cuarto $n+1$ . La habitación $1$ queda libre y allí se aloja el nuevo visitante.

$\text{Cuarto libre} = 1$

Paso 4. Respuesta a la pregunta del hijo

El hijo pregunta: "si todos le sumaron uno al número de su cuarto, entonces el que estaba en el último cuarto se quedó sin lugar".

El padre responde correctamente: no hay último cuarto, porque el hotel es infinito. La idea clave es que un conjunto infinito numerable puede ponerse en correspondencia biunívoca con un subconjunto propio (por ejemplo, $\mathbb{N}$ con $\mathbb{N}\setminus\{1\}$ ).

$\mathbb{N} \longleftrightarrow \{2, 3, 4, 5, \dots\}$

Respuesta: El hotel infinito siempre tiene lugar para un huésped más: cada huésped se desplaza de $n$ a $n+1$ y el cuarto $1$ queda libre. No existe "último cuarto" porque los números naturales son infinitos.

Contenido de la página

—No, claro que no. Déjame contar la historia completa para que veas lo que hacía. El hotel, como dije, estaba lleno ese día. A media tarde llegó un señor a pedir un cuarto. Normalmente, cuando el hotel estaba lleno, cobrábamos un poco más caro, pues había que compensar de algún modo el trabajo que representaba un cambio de habitación.

Al informarle esto, el señor me dijo que no importaba, pero que por favor le diera una habitación en la planta baja, pues sufría de vértigo y no aguantaba los elevadores.

—No se preocupe, señor; espere un momento.

El primer truco que aprendí fue cómo acomodar a un huésped si el hotel estaba lleno. En mi escritorio había un micrófono que se oía en todas las habitaciones, y lo utilizaba para indicar los cambios de habitación (lo del micrófono me lo sabía de memoria, pero él me lo repetía como si fuera su primer día en el trabajo y acabara de descubrirlo), así que lo encendí para anunciar el primer cambio del día:

"Buenas noches, amables huéspedes del Gran Hotel Cantor. Disculpen las molestias que podamos causarles, pero necesitamos realizar una mudanza. Por favor revisen el número de su habitación, ahora súmenle uno y cámbiense a la habitación correspondiente (inciso a). Muchas gracias y que pasen buena tarde".

—Señor, su habitación es la 1, por el pasillo a la derecha. Le recuerdo que su estancia en el hotel está sujeta a cambios de habitación, aunque trataré de mantenerlo en la planta baja, no se preocupe.

Y así le di alojamiento al nuevo visitante.

—Pero, papá, si todos le sumaron uno al número de su cuarto, entonces el que estaba en el último cuarto se quedó sin lugar.

—No, porque el hotel era infinito, no había último cuarto y todos se podían recorrer un número sin que nadie se quedara sin cuarto —tampoco esto lo entendía, pero él lo decía con tanta seguridad, que yo le creía.

Ejemplos resueltos

Un hotel infinito tiene todas sus habitaciones ocupadas. Llega un nuevo huésped. ¿Cómo se le puede alojar?

Se pide a cada huésped del cuarto $n$ que se mude al cuarto $n+1$ . Así el cuarto $1$ queda libre y el nuevo huésped se aloja allí. Nadie se queda sin habitación porque no existe un último cuarto.

Tabla

Huésped	Cuarto antes	Cuarto después
1	1	2
2	2	3
3	3	4
n	n	n+1
Nuevo	—	1

Diagrama

graph LR
  A[Hotel lleno: cuartos 1,2,3,4,...] --> B[Llega nuevo huésped]
  B --> C[Cada huésped n pasa a n+1]
  C --> D[Cuarto 1 queda libre]
  D --> E[Nuevo huésped ocupa el cuarto 1]

Fórmulas y ecuaciones

n $\to$ n+1

$\mathbb{N}$ $\longleftrightarrow$ {2, 3, 4, 5, $\dots\}$

n $\to$ n+1

1, 2, 3, 4, 5, $\dots$

$\mathbb{N}$ $\longleftrightarrow$ {2, 3, 4, 5, $\dots\}$

Glosario (4)

Hotel infinito: Hotel imaginario con infinitas habitaciones numeradas 1, 2, 3, ... que siempre puede alojar más huéspedes.
Infinito numerable: Conjunto infinito cuyos elementos pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los números naturales.
Vértigo: Sensación de mareo o inestabilidad, en el texto impide al huésped usar elevadores.
Mudanza: Cambio de habitación que realizan los huéspedes para liberar el cuarto 1.

Preguntas para practicar

¿Por qué el papá dice que el hotel era infinito y no había último cuarto?

Porque el conjunto de habitaciones se comporta como los números naturales, que no tienen fin. Para cualquier número siempre se puede sumar 1 y obtener otro mayor. Por eso nunca existe un 'último cuarto' y todos pueden desplazarse sin quedarse sin lugar.

¿Qué relación tiene esta historia con las matemáticas?

Ilustra el concepto de infinito numerable y la paradoja del hotel de Hilbert. Muestra que un conjunto infinito puede tener subconjuntos propios del mismo tamaño, como los naturales y los naturales sin el 1.

Temas y conceptos clave

Infinito matemáticoHotel infinito de HilbertNúmeros naturalesConjuntos numerablesInfinito numerableCorrespondencia biunívocaSucesión n+1Conjunto infinito

Fuentes y referencias

David Hilbert, paradoja del hotel infinito

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—No, claro que no. Déjame contar la historia completa para que veas lo que hacia. El hotel, como dije, estaba lleno ese dia. A media tarde llegó un señor a pedir un cuarto.Normalmente,cuando el hotel estaba lleno, cobrábamos un poco más caro, pues habia que compensar de algún modo el trabajo que representaba un cambio de habitación.

Al informarle esto, el señor me dijo que no importaba,pero que por favor le diera una habitación en la planta baja,pues sufria de vértigo y no aguantaba los elevadores.

—No se preocupe, señor; espere un momento.

El primer truco que aprendí fue cómo acomodar a un huésped si el hotel estaba lleno. En mi escritorio habia un micrófono que se oia en todas las habitaciones, y lo utilizaba para indicar los cambios de habitación (lo del micrófono me lo sabia de memoria, pero él me lo repetia como si fuera su primer dia en el trabajo y acabara de descubrirlo), así que lo encendí para anunciar el primer cambio del dia:

—Senor, su habitación es la 1, por el pasillo a la derecha. Le recuerdo que su estancia en el hotel está sujeta a cambios de habitación, aunque trataré de mantenerlo en la planta baja, no se preocupe.

Y asi le di alojamiento al nuevo visitante.

—Pero, papá, si todos le sumaron uno al número de su cuarto, entonces el que estaba en el último cuarto se quedó sin lugar.

—No, porque el hotel era infinito, no habia último cuarto y todos se podian recorrer un número sin que nadie se quedara sin cuarto—tampoco esto lo entendia, pero él lo decia con tanta seguridad, que yo le creia.

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Citlali Gonzilez Tapia y Daniela Estrello Montero, cwoao DE wExca

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