El Gran Hotel Cantor: potencias impares de números primos

Contexto matemático del relato

El texto continúa la historia del Gran Hotel Cantor, una adaptación del clásico Hotel de Hilbert. El recepcionista explica que pudo alojar a todos los turistas porque:

1. Existe una cantidad infinita de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots
2. Cada número primo tiene infinitas potencias impares: para un primo p, las potencias p^{1}, p^{3}, p^{5}, p^{7}, \dots son infinitas.
3. Asignó a cada excursión un número primo distinto y a cada persona de esa excursión una potencia impar diferente de ese primo.

Así, la habitación p^{2n-1} (con n \in \mathbb{N}) aloja a una persona distinta, y como hay infinitos primos y cada uno genera infinitas potencias impares, no se repite ninguna habitación y caben todos.

¿Por qué el recepcionista afirma que "hay un número infinito de números primos"?

1. Esta afirmación es un teorema clásico demostrado por Euclides.
2. Supongamos que existiera una lista finita de primos: p_1, p_2, \dots, p_k.
3. Se construye el número N = p_1 \cdot p_2 \cdots p_k + 1.
4. N no es divisible por ningún p_i de la lista (el residuo siempre es 1).
5. Entonces N es primo o tiene un factor primo que no está en la lista, lo cual contradice la suposición.
6. Por lo tanto, los números primos son infinitos.

Si a la excursión del primo 5 le tocó ese número, ¿qué números de habitación podrían asignarse a sus integrantes?

1. Las potencias impares de 5 son 5^{1}, 5^{3}, 5^{5}, 5^{7}, \dots
2. Calculamos las primeras: 5^{1} = 5, 5^{3} = 125, 5^{5} = 3125, 5^{7} = 15625.
3. Cada una corresponde a una habitación distinta para una persona de esa excursión.

¿Por qué se usan potencias impares y no cualquier potencia?

1. Si se usaran todas las potencias (pares e impares), una misma habitación podría repetirse entre excursiones.
2. Por ejemplo, 2^{2} = 4 y 4 también es 2^{2}; pero 4 no es potencia impar de ningún primo distinto de 2.
3. Al restringir a exponentes impares, cada número de la forma p^{2n-1} tiene una única descomposición como potencia impar de un primo.
4. Esto garantiza que no haya colisiones entre habitaciones asignadas a distintas excursiones.

¿Qué relación tiene esta historia con el Hotel de Hilbert?

1. El Hotel de Hilbert es un experimento mental sobre un hotel con infinitas habitaciones.
2. En ambos casos se muestra que un conjunto infinito puede alojar a otro conjunto infinito sin problema.
3. Aquí se usa una estrategia basada en primos y potencias impares para asignar habitaciones de forma única.