El número final en el pizarrón: un problema de invariantes

En un pizarrón están escritos los números del 1 al 10. Juan borra dos números y los reemplaza por su suma disminuida en 1. Mariana y otros alumnos repiten el proceso hasta que queda un único número. ¿Qué número es? ¿Mariana afirma que el último número siempre será el mismo? ¿Tiene razón?

1. Observamos que la operación a, b \to a + b - 1 reduce la cantidad de números en 1. Como empezamos con 10 números, se necesitan 9 operaciones para llegar a uno solo.
2. Buscamos una cantidad que no cambie con la operación. Si a la suma total S le restamos la cantidad de números n, definimos I = S - n.
3. Al reemplazar a y b por a+b-1, la nueva suma es S' = S - a - b + (a+b-1) = S - 1, y la nueva cantidad es n' = n - 1.
4. Entonces I' = S' - n' = (S-1) - (n-1) = S - n = I. El valor I es un invariante.
5. Al inicio S = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 y n = 10, así que I = 55 - 10 = 45.
6. Al final queda un solo número x con n = 1, por lo que I = x - 1 = 45.
7. Despejamos: x = 45 + 1 = 46.

Comprobación con un orden distinto de elección.

1. Elegimos primero 1 y 2: se reemplazan por 1+2-1 = 2. Quedan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
2. Elegimos 2 y 3: se reemplazan por 2+3-1 = 4. Quedan 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
3. Continuando el proceso con pares arbitrarios, el invariante S - n = 45 se conserva en cada paso.
4. Al final, con un único número x, se cumple x - 1 = 45, de donde x = 46.