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Teselaciones y notación de vértices en el plano

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Respuesta rápida

$(3^6)$ : 6 triángulos por vértice ( $6\times60^\circ=360^\circ$ ). $(3^2,4,3,4)$ : 2 triángulos, 1 cuadrado, 1 triángulo y 1 cuadrado por vértice ( $60+60+90+60+90=360^\circ$ ).

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 126

Colección Sk´asolil. Múltiples lenguajes. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Análisis del contenido

La página presenta un diálogo entre dos personajes que discuten sobre teselaciones (recubrimientos del plano con figuras geométricas sin huecos ni superposiciones).

Notación de vértices

La notación $(a_1^{n_1}, a_2^{n_2}, \dots)$ indica cuántas figuras de cada tipo concurren en cada vértice, ordenadas cíclicamente.

Ejemplo 1: $(3^6)$ significa que en cada vértice concurren 6 triángulos equiláteros.

Verificación de la suma angular: $6 \times 60^\circ = 360^\circ \; \checkmark$

Ejemplo 2: $(3^2, 4, 3, 4)$ significa que en cada vértice hay 2 triángulos, 1 cuadrado, 1 triángulo y 1 cuadrado (en ese orden cíclico).

Verificación de la suma angular: $60^\circ + 60^\circ + 90^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 360^\circ \; \checkmark$

Condiciones de una teselación

Las figuras no se superponen.
No quedan huecos entre ellas.
Todos los vértices son idénticos (teselación uniforme o arquimediana).
La suma de los ángulos interiores en cada vértice es exactamente $360^\circ$ .

Sobre las imágenes

Teselado azul (izquierda): mosaico de figuras curvas irregulares que encajan perfectamente, mostrando que la teselación no se limita a polígonos regulares.
Teselado rojo (derecha): diseño radial con triángulos y cuadriláteros que se repiten alrededor de puntos de alta concurrencia, ilustrando la notación de vértices.

Respuesta orientativa: La notación de vértices permite describir de forma compacta cómo se organizan las figuras alrededor de cada vértice de una teselación, garantizando que la suma angular sea $360^\circ$ y que el patrón pueda repetirse infinitamente en el plano.

Contenido de la página

—¿Qué es esto?

—Son los diseños. Por ejemplo $(3^6)$ quiere decir que en cada vértice hay 6 triángulos; o, en otro ejemplo más complicado, $(3^2,4,3,4)$ , quiere decir que en cada vértice hay 2 triángulos, 1 cuadrado, 1 triángulo y 1 cuadrado, como se ve en el diseño marcado por $(3^2,4,3,4)$ . Es decir, la notación indica cómo se acomodan las figuras alrededor de cada vértice para sumar $360^\circ$ y que no se amontonen alrededor de ningún vértice, pues, además, todos los vértices son iguales y...

—Sí, sí, eso ya lo vi, pero le dije "planos", y quería decir "planos infinitos", grandotes, interminables, etcétera, no estos rectangulitos.

—No se enoje y déjeme explicarle: éstas sólo son muestras, pues cargar con los planos completos es muy incómodo y muy poco discreto. Pero no se preocupe, con esos dibujos se pueden llenar los planos infinitos, pues todos los vértices son iguales y, por lo tanto, los dibujos se pueden ir "pegando" uno a otro infinitamente; confíe en mí. ¿Qué le parecen?

—Bueno, ya sabe, aquí todos conocemos los chismes y rumores de los demás y justo por eso lo llamé a usted, porque dicen por ahí que más que teselar los planos, su trabajo es decorarlos, ¿es eso cierto?

—Sí, así es, sólo que no sabía que eso es lo que quería. Aquí tengo algunas muestras:

[Imagen izquierda: teselado azul con figuras curvas irregulares]

[Imagen derecha: teselado rojo radial con triángulos y cuadriláteros]

Ejemplos resueltos

Verificar que la notación $(3^6)$ corresponde a una teselación válida.

Cada triángulo equilátero tiene ángulo interior $60^\circ$ . Con 6 triángulos: $6 \times 60^\circ = 360^\circ$ . Como la suma es exactamente $360^\circ$ , no hay huecos ni superposiciones.

Verificar que la notación $(3^2,4,3,4)$ corresponde a una teselación válida.

La secuencia es: triángulo, triángulo, cuadrado, triángulo, cuadrado. Suma: $60^\circ + 60^\circ + 90^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 360^\circ$ . La suma es exactamente $360^\circ$ , por lo que la teselación es válida.

Fórmulas y ecuaciones

$\sum$ $\text{ángulos en cada vértice}$ = $360^\circ$

6 $\times$ $60^\circ$ = $360^\circ$

$60^\circ$ + $60^\circ$ + $90^\circ$ + $60^\circ$ + $90^\circ$ = $360^\circ$

Glosario (4)

Teselación: Recubrimiento completo del plano con figuras geométricas sin huecos ni superposiciones.
Notación de vértices: Forma compacta de indicar cuántas y qué figuras concurren en cada vértice de una teselación.
Vértice: Punto donde se encuentran dos o más lados de figuras geométricas.
Teselación uniforme: Teselación en la que todos los vértices tienen la misma configuración de figuras.

Preguntas para practicar

¿Qué significa que todos los vértices sean iguales en una teselación?

Significa que en cada vértice del recubrimiento concurren las mismas figuras en el mismo orden cíclico. Esto garantiza que el patrón pueda repetirse indefinidamente sin generar huecos ni superposiciones.

¿Por qué la suma de los ángulos alrededor de un vértice debe ser 360°?

Porque el plano completo equivale a un giro de $360^\circ$ alrededor de cualquier punto. Si la suma fuera menor quedarían huecos y si fuera mayor las figuras se superpondrían.

Temas y conceptos clave

TeselacionesNotación de vérticesRecubrimiento del planoTeselación uniformeSuma angular 360°Notación (a^n)Mosaico infinito

¿Te fue útil esta página?

Figuras de la página (1)

Teselado azul formado por figuras curvas irregulares que encajan perfectamente sin dejar espacios. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué significa la notación (3^6) en una teselación?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se verifica que una teselación cubre el plano sin huecos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué diferencia hay entre teselar y decorar el plano?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Suma de ángulos interiores de polígonos
• Ángulos de triángulos equiláteros (60°) y cuadrados (90°)
• Concepto de vértice y figura geométrica

Siguiente tema sugerido

Construcción de teselaciones con polígonos regulares y semirregulares

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1318 caracteres

—iQuées esto?

—Son los diseños. Por ejemplo (3°) quiere decir que en cada vértice hay 6 triángulos; o, en otro ejemplo más complicado, $(3^{2},4,3,4)$ , quiere decir que en cada vértice hay 2 triángulos, 1cuadrado, 1 triángulo y 1 cuadrado, como se ve en el diseño marcado por (3²,4,3,4). Es decir, la notación indica cómo se acomodan las figuras alrededor de cada vértice para sumar 360° y que no se amontonen alrededor de ningún vértice, pues, además,todos los vértices son iguales y...

—Sí, sí, eso ya lo vi, pero le dije "planos", y queria decir "planos infinitos", grandotes, interminables, etcétera, no estos rectangulitos.

—No se enoje y déjeme explicarle: éstas sólo son muestras, pues cargar con los planos completos es muy incómodo y muy poco discreto. Pero no se preocupe, con esos dibujos se pueden lenar los planos infinitos, pues todos los vértices son iguales y, por lo tanto,los dibujos se pueden ir "pegando" uno a otro infinitamente; confie en mí.Qué le parecen?

—Sí, así es, sólo que no sabía que eso es lo que queria. Aquí tengo algunas muestras:

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