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El Gran Hotel Cantor: el hotel infinito de Hilbert

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Respuesta rápida

El hotel es infinito: al pasar cada huésped de la habitación $n$ a la $n+1$ , la habitación $1$ queda libre para el nuevo visitante y nadie se queda sin cuarto.

📚 theory lengua-y-literatura ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 111

Colección Ximhai. Múltiples lenguajes. Libro de Educación Telesecundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Contexto de la página

La página pertenece a una lectura literaria. No contiene ejercicios con enunciado numerado, pero sí una situación matemática implícita: el hotel infinito (paradoja del hotel de Hilbert). Se explica y se resuelve el razonamiento que aparece en el diálogo.

Paso 1. ¿Qué pide el recepcionista?

El recepcionista anuncia por micrófono:

«revisen el número de su habitación, ahora súmenle uno y cámbiense a la habitación correspondiente».

Es decir, cada huésped de la habitación $n$ se muda a la habitación $n+1$ .

Paso 2. ¿Por qué nadie se queda sin cuarto?

El hotel tiene infinitas habitaciones numeradas $1, 2, 3, 4, \dots$

El huésped de la habitación $1$ pasa a la $2$ .
El de la $2$ pasa a la $3$ .
El de la $3$ pasa a la $4$ .
En general, el de la habitación $n$ pasa a la $n+1$ .

Como no existe un «último cuarto», siempre hay una habitación siguiente para cada huésped. La habitación $1$ queda libre y allí se aloja el nuevo visitante.

Paso 3. La objeción del hijo

El hijo piensa: «si todos se corren un número, el del último cuarto se queda sin lugar». Su error es suponer que existe un último cuarto. En un conjunto infinito numerable no hay elemento máximo, por eso la mudanza funciona.

Paso 4. Idea matemática que ilustra

Este relato es la versión literaria de la paradoja del hotel infinito de Hilbert: un conjunto infinito numerable puede recibir un elemento más y seguir siendo infinito numerable, porque existe una función biyectiva entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}\setminus\{1\}$ :

$f(n)=n+1$

Respuesta orientativa: El hotel nunca se llena porque tiene infinitas habitaciones; al sumar $1$ al número de cada cuarto, la habitación $1$ queda libre para el nuevo huésped y todos los demás conservan un lugar.

Contenido de la página

—No, claro que no. Déjame contar la historia completa para que veas lo que hacía. El hotel, como dije, estaba lleno ese día. A media tarde llegó un señor a pedir un cuarto. Normalmente, cuando el hotel estaba lleno, cobrábamos un poco más caro, pues había que compensar de algún modo el trabajo que representaba un cambio de habitación.

Al informarle esto, el señor me dijo que no importaba, pero que por favor le diera una habitación en la planta baja, pues sufría de vértigo y no aguantaba los elevadores.

—No se preocupe, señor; espere un momento.

El primer truco que aprendí fue cómo acomodar a un huésped si el hotel estaba lleno. En mi escritorio había un micrófono que se oía en todas las habitaciones, y lo utilizaba para indicar los cambios de habitación (lo del micrófono me lo sabía de memoria, pero él me lo repetía como si fuera su primer día en el trabajo y acabara de descubrirlo), así que lo encendí para anunciar el primer cambio del día:

"Buenas noches, amables huéspedes del Gran Hotel Cantor. Disculpen las molestias que podamos causarles, pero necesitamos realizar una mudanza. Por favor revisen el número de su habitación, ahora súmenle uno y cámbiense a la habitación correspondiente (inciso a). Muchas gracias y que pasen buena tarde".

—Señor, su habitación es la 1, por el pasillo a la derecha. Le recuerdo que su estancia en el hotel está sujeta a cambios de habitación, aunque trataré de mantenerlo en la planta baja, no se preocupe.

Y así le di alojamiento al nuevo visitante.

—Pero, papá, si todos le sumaron uno al número de su cuarto, entonces el que estaba en el último cuarto se quedó sin lugar.

—No, porque el hotel era infinito, no había último cuarto y todos se podían recorrer un número sin que nadie se quedara sin cuarto —tampoco esto lo entendía, pero él lo decía con tanta seguridad, que yo le creía.

Ejemplos resueltos

En el Gran Hotel Cantor, todos los huéspedes se mudan de la habitación $n$ a la $n+1$ . ¿Qué habitación queda libre y por qué nadie se queda sin cuarto?

Cada huésped de la habitación $n$ pasa a la $n+1$ .
El huésped de la habitación $1$ pasa a la $2$ ; el de la $2$ a la $3$ ; y así sucesivamente.
Como el conjunto de habitaciones es infinito, no existe un último cuarto.
Por lo tanto, la habitación $1$ queda libre y allí se aloja el nuevo visitante.

Respuesta: queda libre la habitación $1$ ; nadie se queda sin cuarto porque no hay un último número de habitación.

Tabla

Huésped	Habitación inicial	Habitación final
1	1	2
2	2	3
3	3	4
...	...	...
n	n	n+1
Nuevo	—	1

Diagrama

flowchart LR
  A[Habitación 1] --> B[Habitación 2]
  B --> C[Habitación 3]
  C --> D[Habitación 4]
  D --> E[...]
  F[Nuevo huésped] --> A

Fórmulas y ecuaciones

f(n)=n+1

$\mathbb{N}$ $=\{1,2,3,4,\dots\}$

Glosario (5)

Vértigo: Sensación de mareo o inestabilidad, a menudo provocada por las alturas.
Huésped: Persona alojada en un hotel o casa ajena.
Mudanza: Acción de cambiar de habitación o de domicilio.
Infinito: Que no tiene fin ni límite; en matemáticas, conjunto que puede ponerse en correspondencia con una parte propia de sí mismo.
Inciso: Cada una de las subdivisiones señaladas con letras o números dentro de un texto.

Preguntas para practicar

¿Por qué el hijo cree que el último huésped se quedará sin cuarto?

Porque piensa en el hotel como si tuviera un número finito de habitaciones y, por tanto, un último cuarto. Al aplicar la regla de sumar uno a todos, imagina que el huésped del final no tendría a dónde ir. Su error es suponer que existe un último número en una lista infinita.

¿Qué significa que el hotel sea infinito en el contexto del relato?

Significa que tiene infinitas habitaciones numeradas $1, 2, 3, 4, \dots$ sin un final. Por eso siempre se puede sumar uno al número de cualquier habitación y obtener otra habitación válida, de modo que nunca se agotan los cuartos.

¿Qué relación tiene este relato con las matemáticas?

Es una versión literaria de la paradoja del hotel infinito de Hilbert. Muestra que un conjunto infinito numerable puede recibir un elemento más sin dejar de ser infinito numerable, porque existe una correspondencia biunívoca entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}\setminus\{1\}$ mediante la función $f(n)=n+1$.

Temas y conceptos clave

Lectura literariaEl infinito matemáticoParadoja del hotel de HilbertInfinito numerableSucesión de números naturalesBiyectividadParadoja

Fuentes y referencias

Paradoja del hotel infinito de David Hilbert

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Figuras de la página (1)

Ilustración de la recepción del Gran Hotel Cantor. Un recepcionista de traje está detrás del mostrador con un micrófono; frente a él, un huésped con lentes y una maleta verde levanta la mano. Sobre el mostrador hay un letrero que dice «Gran Hotel Cantor» y un cartel pequeño que dice «Recepción». Créditos: Citlali González Tapia y Daniela Estrello Montero. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué es la paradoja del hotel infinito de Hilbert?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué en un hotel infinito siempre cabe un huésped más?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué diferencia hay entre un conjunto finito y uno infinito numerable?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Conocer los números naturales y su orden
• Comprender la idea de sucesión o lista sin final
• Noción básica de conjunto

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El infinito en matemáticas: conjuntos finitos e infinitos

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1953 caracteres

—No, claro que no. Déjame contar la historia completa para que veas lo que hacia. El hotel, como dije, estaba lleno ese dia. A media tarde llegó un señor a pedir un cuarto.Normalmente,cuando el hotel estaba lleno,cobrábamos un poco más caro, pues habia que compensar de algún modo el trabajo que representaba un cambio de habitación.

Al informarle esto, el señor me dijo que no importaba,pero que por favor le diera una habitación en la planta baja,pues sufria de vértigo y no aguantaba los elevadores.

—No se preocupe, señor; espere un momento.

El primer truco que aprendí fue cómo acomodar a un huésped si el hotel estaba lleno. En mi escritorio habia un micrófono que se oia en todas las habitaciones, y lo utilizaba para indicar los cambios de habitación (lo del micrófono me lo sabia de memoria, pero él me lo repetia como si fuera su primer dia en el trabajo y acabara de descubrirlo), así que lo encendí para anunciar el primer cambio del dia:

Y asi le di alojamiento al nuevo visitante.

—Pero, papá, si todos le sumaron uno al número de su cuarto, entonces el que estaba en el último cuarto se quedó sin lugar.

—No, porque el hotel era infinito, no habia último cuarto y todos se podian recorrer un número sin que nadie se quedara sin cuarto—tampoco esto lo entendia, pero él lo decia con tanta seguridad, que yo le creia.

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Citlali González Tapia y Daniela Estrello Montero, cmoa E wExca

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