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El hotel infinito: el segundo truco de Hilbert

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Respuesta rápida

Se pide a cada huésped mudarse al cuarto $2n$ ; quedan libres los impares $1,3,5,\dots$ , donde se aloja a los nuevos huéspedes. El hotel sigue teniendo una sola infinidad de habitaciones.

📚 theory matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 112

Colección Ximhai. Múltiples lenguajes. Libro de Educación Telesecundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Contexto matemático: el Hotel de Hilbert

El texto narra el segundo truco del Hotel Infinito de Hilbert. Un hotel con infinitas habitaciones (numeradas $1, 2, 3, \dots$ ) está completamente lleno, es decir, hay una infinidad de huéspedes, uno por habitación. Llega una nueva infinidad de personas y el recepcionista logra alojarlas a todas.

Paso 1: el problema

El hotel tiene habitaciones numeradas $1, 2, 3, 4, \dots$ y todas están ocupadas. Llega un número infinito de nuevos huéspedes. ¿Cómo alojarlos sin dejar a nadie fuera?

Paso 2: la instrucción del recepcionista

Se pide a cada huésped actual que multiplique por $2$ el número de su habitación y se mude al cuarto con ese nuevo número:

$n \;\longrightarrow\; 2n$

Huésped del cuarto $1 \to$ cuarto $2$
Huésped del cuarto $2 \to$ cuarto $4$
Huésped del cuarto $3 \to$ cuarto $6$
Huésped del cuarto $n \to$ cuarto $2n$

Paso 3: habitaciones que quedan libres

Todos los números multiplicados por $2$ son pares, así que las habitaciones ocupadas son las pares:

$2, 4, 6, 8, 10, \dots$

Quedan libres las habitaciones con números impares:

$1, 3, 5, 7, 9, \dots$

Paso 4: alojar a los nuevos huéspedes

Cada nuevo huésped ocupa una habitación impar. Como los impares también son infinitos, todos los recién llegados tienen cuarto:

Nuevo huésped $1 \to$ cuarto $1$
Nuevo huésped $2 \to$ cuarto $3$
Nuevo huésped $3 \to$ cuarto $5$
Nuevo huésped $k \to$ cuarto $2k-1$

Paso 5: conclusión

El conjunto de los números pares y el conjunto de los números impares tienen la misma cantidad de elementos que el conjunto de todos los números naturales: cada uno es infinito numerable. Por eso el hotel puede alojar simultáneamente dos excursiones infinitas sin que el hotel tenga "dos infinidades": sigue teniendo una sola infinidad de habitaciones, solo que reorganizada.

Respuesta: Multiplicando por $2$ el número de cada habitación ocupada, se liberan todas las impares ( $1, 3, 5, \dots$ ), que son infinitas y permiten alojar a la nueva infinidad de huéspedes. El hotel sigue teniendo una sola infinidad de cuartos.

Contenido de la página

Las agencias de viajes, que reservaban lugar para grandes excursiones, tenían una hora específica de llegada: las 20 horas. A mí me gustaba atenderlos bien, así que todos los días, a las 19:30, revisaba si había alguna reservación y, en caso de que la hubiera, dejaba las habitaciones disponibles para que los nuevos huéspedes no tuvieran que esperar. Ese día, había una reservación para un número infinito de personas, así que realicé la segunda mudanza del día y dejé libres las habitaciones que necesitaría.

—¿Cómo, papá? ¿No se suponía que el hotel tenía sólo una infinidad de cuartos? Tú ahora me dices que, en realidad, tenía dos infinidades.

—No, no, yo no dije eso.

—Pero si el hotel estaba lleno, entonces había una infinidad de huéspedes y llegó otra infinidad, y tú los alojaste a todos.

—Sí, así es; ése era el segundo truco que nos habían enseñado, que en realidad no era muy complicado: lo que hice fue encender el micrófono y pedirles a los huéspedes que multiplicaran el número de su habitación por dos y se cambiaran al cuarto que tuviera el nuevo número (inciso b). De esa manera, sólo estaban ocupadas las habitaciones con números pares, pues todos los números multiplicados por dos son pares, y quedaban libres las que tenían números impares, y cada colección era una infinidad de habitaciones.

—Entonces podías meter dos excursiones infinitas al mismo tiempo en el hotel.

—Sí, pero eso no quiere decir que el hotel tenga dos infinidades, sino que es una característica maravillosa que se tiene por el simple hecho de ser infinito.

A las 20 horas en punto llegó la representante de la agencia y le indiqué las habitaciones que le correspondían. Desde ese momento, no hubo nada demasiado interesante que contar, hasta que se acercó la hora de cerrar la recepción (las 22 horas). Eran las 21:53, me acuerdo bien, y yo estaba acomodando todo para irme, cuando entró una señorita con cara de preocupación.

Citlali González Tapia y Daniela Estrello Montero, cuentos de México

Ejemplos resueltos

El hotel tiene infinitas habitaciones ocupadas. Llega una infinidad de nuevos huéspedes. ¿Cómo alojarlos?

Se pide a cada huésped mudarse al cuarto $2n$ . Quedan ocupados los pares $2,4,6,\dots$ y libres los impares $1,3,5,\dots$ . Cada nuevo huésped $k$ ocupa el cuarto $2k-1$ . Así todos quedan alojados.

Tabla

Huésped actual	Cuarto actual	Nuevo cuarto ( $2n$ )
1	1	2
2	2	4
3	3	6
4	4	8
$n$	$n$	$2n$

Diagrama

graph LR
  A[Habitación 1] -->|x2| B[Habitación 2]
  C[Habitación 2] -->|x2| D[Habitación 4]
  E[Habitación 3] -->|x2| F[Habitación 6]
  G[Habitación n] -->|x2| H[Habitación 2n]
  B --> I[Ocupadas: pares]
  D --> I
  F --> I
  H --> I
  J[Libres: impares 1,3,5,...] --> K[Nuevos huéspedes]

Fórmulas y ecuaciones

n $\to$ 2n

k $\to$ 2k-1

n $\to$ 2n

2, 4, 6, 8, 10, $\dots$

1, 3, 5, 7, 9, $\dots$

k $\to$ 2k-1

Glosario (5)

Infinidad: Cantidad que no tiene límite ni fin; conjunto con infinitos elementos.
Huésped: Persona que se aloja en un hotel.
Recepción: Área del hotel donde se atiende y registra a los huéspedes.
Número par: Número entero divisible entre 2; se obtiene al multiplicar por 2 cualquier natural.
Número impar: Número entero que no es divisible entre 2.

Preguntas para practicar

¿Por qué el hotel no tiene 'dos infinidades' aunque aloje a dos excursiones infinitas?

Porque el conjunto de habitaciones sigue siendo un solo conjunto infinito numerable. Al reorganizar a los huéspedes mediante la regla $n \to 2n$, los pares y los impares son subconjuntos infinitos del mismo conjunto de naturales, no conjuntos nuevos. La infinidad no se duplica: solo se redistribuye.

¿Qué relación existe entre los números pares y los números naturales?

Existe una correspondencia biunívoca: a cada natural $n$ le corresponde el par $2n$. Por eso ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad, aunque los pares parezcan 'la mitad'. Es una propiedad característica de los conjuntos infinitos.

Temas y conceptos clave

El Hotel Infinito de HilbertConjuntos infinitosNúmeros pares e imparesInfinidad de habitacionesMultiplicar por 2Habitaciones pares ocupadasHabitaciones impares libresInfinito numerable

Fuentes y referencias

Citlali González Tapia y Daniela Estrello Montero, cuentos de México

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Figuras de la página (1)

Ilustración de dos filas de habitaciones de hotel. En la fila superior se ven los cuartos 208, 210 y 212 con huéspedes dentro; en la fila inferior los cuartos 104, 105 y 106. Las puertas pares están ocupadas y las impares libres, representando la mudanza del truco de Hilbert. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué es el Hotel Infinito de Hilbert y para qué sirve?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué los números pares son tantos como todos los números naturales?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se puede alojar a infinitos huéspedes en un hotel lleno?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Reconocer los números naturales y su orden
• Distinguir números pares e impares
• Multiplicar por 2 números naturales

Siguiente tema sugerido

El tercer truco del hotel infinito: los números primos y los racionales

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2035 caracteres

Las agencias de viajes, que reservaban lugar para grandes excursiones, tenian una hora especifica de llegada: las 20horas. A mí me gustaba atenderlos bien, así que todos los dias, a las 19:30, revisaba si habia alguna reservación y. en caso de que la hubiera, dejaba las habitaciones disponibles para que los nuevos huéspedes no tuvieran que esperar.Ese dia, habia una reservación para un número infinito de personas, así que realicé la segunda mudanza del dia y dejélibres las habitaciones que necesitaria.

—jCómo, papá? jNo se suponia que el hotel tenia sólo una infinidad de cuartos? Tú ahora me dices que, en realidad,tenia dos infinidades.

—No,no, yo no dije eso.

—Pero si el hotel estaba lleno, entonces habia una infinidad de huéspedes y llego otra infinidad, y tú los alojaste a todos.

—Si,así es; ése era el segundo truco que nos habian enseñado, que en realidad no era muy complicado: lo que hice fue encender el micrófono y pedirles a los huéspedes que multiplicaran el número de su habitación por dos y se cambiaran al cuarto que tuviera el nuevo número (inciso b). De esa manera, sólo estaban ocupadas las habitaciones con números pares, pues todos los números multiplicados por dos son pares, y quedaban libres las que tenian números impares, y cada colección era una infinidad de habitaciones.

—Entonces podias meter dos excursiones infinitas al mismo tiempo en el hotel.

—Sí, pero eso no quiere decir que el hotel tenga dos infinidades, sino que es una caracteristica maravillosa que se tiene por el simple hecho de ser infinito.

A las 20 horas en punto llegó la representante de la agencia y le indiqué las habitaciones que le correspondian. Desde ese momento, no hubo nada demasiado interesante que contar, hasta que se acercó la hora de cerrar la recepción (las 22 horas). Eran las 21:53, me acuerdo bien, y yo estaba acomodando todo para irme, cuando entró una senorita con cara de preocupación.

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Citlali González Tapia y Daniela Estrello Montero, cuipaD oE wExica

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