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El Gran Hotel Cantor: números primos y potencias

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Respuesta rápida

a) 24. b) 22. c) $3^{6}=729$ . Los primos solo se dividen entre 1 y ellos mismos; las potencias $p^{n}$ entre $p, p^{2}, \dots, p^{n}$ .

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Solución — Página 113

Colección Ximhai. Múltiples lenguajes. Libro de Educación Telesecundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Contexto: El Gran Hotel Cantor

La página pertenece a una narración que usa el infinito y los números primos para resolver un problema de alojamiento. El gerente solo comunica el cambio a las habitaciones cuyo número es primo o potencia de primo.

Números primos

Un número primo es un natural mayor que 1 cuyos únicos divisores positivos son 1 y él mismo.

Ejemplos: $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$
Hay infinitos números primos (Euclides).
Las potencias de un primo $p^{n}$ solo son divisibles entre $p, p^{2}, \dots, p^{n}$ .

Ejemplo con $p=5$ : $5^{5}=3125$ es divisible entre $5, 5^{2}=25, 5^{3}=125, 5^{4}=625$ y $5^{5}=3125$ .

Relación de cambios de habitación

Parte 1.a

Sumar 1 al número de habitación

$23 + 1 = 24$

Respuesta

cambia a la habitación 24.

Parte 1.b

Multiplicar por 2 el número de habitación

$11 \times 2 = 22$

Respuesta

cambia a la habitación 22.

Parte 1.c

Si la habitación es $p^{n}$, multiplicar por 2 el exponente

$3^{3} = 27 \quad \Rightarrow \quad 3^{3 \times 2} = 3^{6} = 729$

Idea matemática central

La mudanza transforma cada habitación $p^{n}$ en $p^{2n}$ , es decir, eleva al cuadrado la potencia original. Así, el hotel infinito puede reacomodar a infinitos grupos de infinitos huéspedes usando la factorización única de los naturales.

Respuesta

cambia a la habitación 729.

Contenido de la página

—Buenas noches, señorita, ¿en qué puedo ayudarla?

—Tengo un problema grandísimo. Se me juntaron un número infinito de excursiones con un número infinito de personas cada una y, por supuesto, no tengo dónde alojarlas. Yo sé que aquí es necesario reservar si la excursión es muy grande, pero esta vez es una emergencia.

—¿Así que un número infinito de excursiones con un número infinito de personas cada una? Déjeme pensar...

—Por favor, si no me voy a quedar sin trabajo (a mi papá le encantaba hacerse el héroe cuando me contaba sus historias).

—Ya sé qué vamos a hacer, pero recuerde que cuando el hotel está lleno, la tarifa es un poco más alta.

—Sí, sí, no se preocupe por eso; de hecho hice una colecta de un peso por cada turista de las excursiones y ese fondo es para usted si me da las habitaciones.

—Espere un momento, por favor.

Volví a encender el micrófono para anunciar la última mudanza del día, sólo que esta vez no me comuniqué con todas las habitaciones, sino sólo con las que estarían implicadas en el cambio.

—Pero ¿cómo, papá? ¿Tenías que meter un número infinito de excursiones con un número infinito de personas cada una y ni siquiera usaste todas las habitaciones del hotel?

—Sí. Eso de GRAN Hotel Cantor no era nada más porque sí. Encendí el micrófono de modo que sólo las habitaciones con número primo o alguna potencia de primo pudieran oírlo:

"Buenas noches, amables huéspedes del Gran Hotel Cantor. Disculpen las molestias que podamos causarles, pero necesitamos realizar una última mudanza esta noche. Les pedimos por favor que se acerquen a su puerta, donde encontrarán un cuadro con indicaciones sobre su número de habitación. Como pueden observar, el número de su habitación se puede escribir como un número elevado a una potencia, tal como se lee en el inciso c, es decir, su número de habitación es de la forma $p^{n}$ y, en seguida, se da el número particular de cada habitación escrito de esa manera. La mudanza consiste en realizar la siguiente operación: si su cuarto es $p^{n}$ , su nuevo..."

Números primos

Los números primos son los números naturales mayores que 1 que sólo pueden dividirse entre 1 y ellos mismos.

Hay un número infinito de números primos. Las potencias de números primos ( $p^{n}$ ) serán divisibles únicamente entre el número base ( $p$ ) y todas las potencias de $p$ , hasta $p^{n}$ . Si $p=5$ , $5^{5}$ será divisible entre $5, 5^{2}, 5^{3}, 5^{4}$ y $5^{5}$ .

Relación de cambios de habitación

a. Súmale 1 al número de su habitación:

$23 + 1 = 24$ . Cambia a la habitación 24.

b. Multiplique el número de habitación por 2:

$11 \times 2 = 22$ . Cambia a la habitación 22.

c. Su número de habitación es de la forma $p^{n}$ ( $3^{3}=27$ ). Multiplique por dos el exponente al que está elevado el número: $3^{3 \times 2} = 3^{6} = 729$ . Cambia a la habitación 729.

Ejemplos resueltos

Si $p=5$ , ¿entre qué números es divisible $5^{5}$ ?

$5^{5}=3125$ . Sus divisores que son potencias de 5 son $5, 5^{2}=25, 5^{3}=125, 5^{4}=625$ y $5^{5}=3125$ .

La habitación $3^{3}=27$ cambia multiplicando por 2 el exponente. ¿A qué habitación cambia?

$3^{3 \times 2}=3^{6}=729$ . Cambia a la habitación 729.

Tabla

Habitación original	Operación	Nueva habitación
23	+1	24
11	×2	22
$3^{3}=27$	exponente ×2	$3^{6}=729$

Diagrama

graph LR
  A[Habitación p^n] --> B[Multiplicar exponente por 2]
  B --> C[Nueva habitación p^{2n}]
  C --> D[Ejemplo: 3^3=27 → 3^6=729]

Fórmulas y ecuaciones

$p^{n}$ $\text{ es divisible entre }$ p, $p^{2}$ , $\dots$ , $p^{n}$

$p^{n}$ $\rightarrow$ $p^{2n}$

$p^{n}$

$5^{5}$

23 + 1 = 24

11 $\times$ 2 = 22

$3^{3}$ = 27

$3^{3$ $\times$ 2} = $3^{6}$ = 729

Glosario (4)

Número primo: Natural mayor que 1 que solo tiene como divisores a 1 y a sí mismo.
Potencia: Producto de un número multiplicado por sí mismo varias veces; se escribe $p^{n}$.
Divisible: Que puede dividirse entre otro número dando un resultado exacto.
Exponente: Número que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.

Preguntas para practicar

¿Por qué el gerente solo avisa a las habitaciones con número primo o potencia de primo?

Porque los números primos y sus potencias tienen una estructura de divisores muy simple, lo que permite reorganizar las habitaciones sin ambigüedad. Al elevar al cuadrado el exponente, cada habitación $p^{n}$ se transforma en $p^{2n}$, liberando espacio para nuevos huéspedes.

Temas y conceptos clave

Números primosPotencias de primosDivisibilidadInfinitoNúmero primoPotencia p^nDivisores de una potenciaMudanza en el hotel infinito

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Figuras de la página (1)

Ilustración de dos personajes en la recepción del Gran Hotel Cantor; uno habla por micrófono y otro escucha. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué es un número primo y cómo se identifica?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se calculan las potencias de un número primo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué el Gran Hotel Cantor usa números primos para la mudanza?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Multiplicación de números naturales
• Concepto de potencia y exponente
• Divisores de un número

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Factorización en números primos y mínimo común múltiplo

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—Buenas noches, senorita, jen qué puedo ayudarla?

—Tengo un problema grandisimo. Se me juntaron un número infinito de excursiones con un número infinito de personas cada una y. por supuesto, no tengo dónde alojarlas. Yo sé que aquí es necesario reservar si la excursión es muy grande, pero esta vez es una emergencia.

—jAsí que un número infinito de excursiones con un número infinito de personas cada una? Déjeme pensar..

—Por favor, si no me voy a quedar sin trabajo (a mi papále encantaba hacerse el héroe cuando me contaba sus historias).

—Ya sé qué vamos a hacer, pero recuerde que cuando el hotel está lleno, la tarifa es un poco más alta.

—Sí, sí, no se preocupe por eso; de hecho hice una colecta de un peso por cada turista de las excursiones y ese fondo es para usted si me da las habitaciones.

—Espere un momento, por favor.

Volvi a encender el micrófono para anunciar la ultima mudanza del dia, sólo que esta vez no me comuniqué con todas las habitaciones, sino sólo con las que estarian implicadas en el cambio.

—Pero jcómo, papá? iTenias que meter un número infinito de excursiones con un número infinito de personas cada una y ni siquiera usaste todas las habitaciones del hotel?

—SI.Eso de GRAN Hotel Cantor no era nada más porque si.Encendí el micrófono de modo que sólo las habitaciones con número primo o alguna potencia de primo pudieran oirlo:

"Buenas noches, amableshuéspedes del Gran Hotel Cantor.Disculpen las molestias que podamos causarles, pero necesitamos realizar una última mudanza esta noche. Les pedimos por favor que se acerquen a su puerta, donde encontrarán un cuadro con indicaciones sobre su número de habitación.Como pueden observar,el número de su habitación se puede escribir como un número elevado a una potencia, tal como se lee en el inciso c, es decir, su número de habitación es de la foma $p^{n}y.$ en seguida, se da el número particular de cada habitación escrito de esa manera. La mudanza consiste en realizar la siguiente operación: si su cuarto es p", su nuevo

Números primos

Los números primos son los numeros naturales mayores que 1 que sólo pueden dividirse entre 1 y ellos mismos.

Hay un número infinito de números primos.Las potencias de números primos (p") serán divisibles únicamente entre el número base (p)y todas las potencias de p, hasta $p^{n}.\mathrm{Sip}=5,5^{5}$ será divisible entre $5,5^{2},5^{3},5^{4}\vee5^{5}$

Relación de cambios de habitacion

Sumale 1 al número de su habitación:

$23+1=24$ Cambia a la habitación 24.b. Multiplique el número de habitación por 2 $11\times2=22$ Cambia a la habitación22.

Su número de habitación es de la forma p" $(3^{3}=27)$ . Multiplique por dos el exponente al que está elevado el número $0:3^{\left|3\times2\right|}=3^{6}$ $=729$ Cambia a la habitación 729.

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Citlali Gonzalez Tapia y Daniela Estrello Montero, cunso oe wexco

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