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El Gran Hotel Cantor: potencias impares de números primos

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Respuesta rápida

Se asigna un primo a cada excursión y se aloja a cada persona en una potencia impar de ese primo: $p^{1}, p^{3}, p^{5}, \dots$

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 114

Colección Ximhai. Múltiples lenguajes. Libro de Educación Telesecundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Contexto matemático del relato

El texto continúa la historia del Gran Hotel Cantor, un hotel con infinitas habitaciones. El recepcionista explica a su padre cómo logró alojar a todos los turistas de infinitas excursiones.

Paso 1: Asignar un número primo a cada excursión

Como existen infinitos números primos, a cada excursión se le asigna un primo distinto:

$p_1 = 2,\; p_2 = 3,\; p_3 = 5,\; p_4 = 7,\; p_5 = 11,\; \dots$

Paso 2: Usar las potencias impares de cada primo

Cada primo $p$ genera infinitas potencias impares:

$p^{1},\; p^{3},\; p^{5},\; p^{7},\; \dots$

Por ejemplo, para $p=2$ : $2, 8, 32, 128, \dots$

Paso 3: Asignar una habitación a cada persona

Cada persona de la excursión $k$ recibe una habitación con número $p_k^{2n-1}$ , con $n = 1, 2, 3, \dots$ Esto garantiza que no haya dos personas en la misma habitación, porque las potencias impares de primos distintos nunca coinciden.

Paso 4: Verificar que todos tienen habitación

Como hay infinitos primos y cada primo tiene infinitas potencias impares, el conjunto de habitaciones asignadas es infinito y cubre a todos los turistas.

Respuesta: El recepcionista usa la infinitud de los números primos y de sus potencias impares para alojar a infinitas personas en infinitas habitaciones sin repetir ninguna.

Contenido de la página

cuarto será $p^{2n}$ . Recuerden que para cualquier duda pueden marcar al 00 y preguntar el nuevo número de su habitación. Gracias y buenas noches".

En esos momentos era cuando más aliviado me sentía de ser recepcionista y no telefonista del hotel.

—Están listas, señorita. Sus habitaciones son todas aquellas cuyos números son potencias impares de números primos; aquí tiene una lista más detallada.

—Muchísimas gracias. Ahora, aquí tiene usted un cheque por la cantidad que reunimos entre nuestros turistas. Muchas gracias de nuevo.

—De nada, señorita, gracias a usted.

Y así fue que...

—No, no, no, espérate, papá. Explícame cómo cupieron todas esas personas en esos cuartos.

—Ah, pues es muy fácil, fíjate: hay un número infinito de números primos, así que a cada excursión le asigné un número primo. Después, cada número primo tiene un número infinito de potencias impares, por lo que en cada habitación con un número que fuera una potencia impar de un número primo acomodé a cada persona de cada excursión. Y así cupieron todos.

—Sí, creo que ya entendí... ¿Y como ya eras millonario, dejaste de trabajar ahí?

—No, seguí trabajando ahí durante tres años. Me gustaba. Lo que pasó fue que hubo un complot de hoteleros para cerrar el Gran Hotel Cantor. Lo peor fue que no sólo lo cerraron, sino que, además, derribaron ese maravilloso edificio. Ni modo.

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Ejemplos resueltos

Asigna habitaciones a los turistas de la excursión 1 usando el primo 2.

Las potencias impares de 2 son $2^1=2$ , $2^3=8$ , $2^5=32$ , $2^7=128$ , ... Cada turista recibe una de estas habitaciones.

Fórmulas y ecuaciones

$p^{2n-1}$

$p^{2n}$

$p^{1}$ , $p^{3}$ , $p^{5}$ , $\dots$

Glosario (3)

Número primo: Número natural mayor que 1 que solo tiene dos divisores: 1 y él mismo.
Potencia impar: Resultado de elevar un número a un exponente impar, como $p^{1}, p^{3}, p^{5}$.
Infinito: Cantidad que no tiene fin; en matemáticas se estudia con la teoría de conjuntos.

Preguntas para practicar

¿Por qué el recepcionista afirma que hay un número infinito de números primos?

Porque es un teorema demostrado por Euclides: si existiera un número finito de primos, su producto más 1 sería un número que no es divisible por ninguno de ellos, lo que contradice la suposición. Por lo tanto, siempre se puede encontrar un primo nuevo.

¿Cómo se asegura de que no haya dos personas en la misma habitación?

Porque las potencias impares de números primos distintos son siempre diferentes. Si dos personas tuvieran la misma habitación, implicaría que $p^a = q^b$ con $p$ y $q$ primos distintos, lo cual es imposible por la unicidad de la factorización prima.

Temas y conceptos clave

Números primosPotencias imparesInfinitoHotel de HilbertInfinitud de los números primosPotencias imparesAsignación biyectivaCardinalidad infinita

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Figuras de la página (1)

Ilustración del Gran Hotel Cantor: recepción con un letrero, un tablero con llaves colgadas y un libro grande con el número 1000. Al pie, créditos: Citlali González Tapia y Daniela Estrello Montero, cmDaD DE wEnco. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se pueden alojar infinitas personas en un hotel con infinitas habitaciones?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué hay infinitos números primos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué son las potencias impares de un número primo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Concepto de número primo
• Concepto de potencia
• Números impares

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Demostración de la infinitud de los números primos

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cuarto será p²n. Recuerden que para cualquier duda pueden marcar al Oo y preguntar el nuevo número de su habitación. Graciasy buenas noches".

En esos momentos era cuando más aliviado me sentia de ser recepcionista y no telefonista del hotel.

—Están listas, señorita. Sus habitaciones son todas aquellas cuyos números son potencias impares de números primos;aquí tiene una lista más detallada.

—Muchísimas gracias. Ahora, aquí tiene usted un cheque por la cantidad que reunimos entre nuestros turistas.Muchas gracias de nuevo.

Y asf fue que.

—No, no, no, espérate, papá.Explicame cómo cupieron todas esas personas en esos cuartos.

—Ah, pues es muy fácil, fijate: hay un número infinito de números primos, así que a cada excursión le asigné un número primo. Después, cada número primo tiene un número infinito de potencias impares, por lo que en cada habitación con un número que fuera una potencia impar de un número primo acomodé a cada persona de cada excursión. Y asícupieron todos.

—si, creo que ya entendi.. jY como ya eras millonario,dejaste de trabajar ahí?

—No, seguí trabajando ahí durante tres anos. Me gustaba.Lo que pasó fue que hubo un complot de hoteleros para cerrar el Gran Hotel Cantor. Lo peor fue que no sólo lo cerraron, sino que, además, derribaron ese maravilloso edificio.Nimodo.

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Citlali González Tapia y Daniela Estrello Montero, cmDaD DE wEnco

—De nada, señorita, gracias a usted.

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