El truco del 9 y sus propiedades algebraicas

—Tacha un dígito, el que tú quieras y dime los demás.

—Siete, ocho y nueve.

—Tachaste un 3.

—Sí, ¿cómo sabes?

—Porque 7+8+9=24 y 27-24=3.

—¡Abuela!, eso es cierto, pero no me ayuda a entender cómo hacer el truco ni por qué funciona.

—Ji, ji, tienes razón. Te escribo tu papelito. En él haré el caso de un número de cuatro cifras, pero recuerda que no importa cuántas cifras tenga el número, siempre funciona, sólo tienes que saber muy bien la tabla del 9. ¿Te la sabes?

—Claro abuela, en primaria me enseñaron dos trucos para aprendérmela: uno escribiendo los números del 0 al 9 de manera ascendente y luego descendente, y otro muy divertido con las manos.

—El 9 y sus propiedades esconden muchos trucos— dijo la abuela.

—¿Cuáles? —pregunté.

—Aquí te va el primero— y le entregó el papelito. Espero que sepas un poquito de álgebra.

abcd = 1000a + 100b + 10c + d

\begin{aligned}1000a+100b+10c+d-(a+b+c+d)&=1000a+100b+10c+d-a-b-c-d\\&=999a+99b+9c\\&=9(111a+11b+c)\end{aligned}

Matías quedó helado, no entendía nada de nada. Observé el papelito y le dije,

—¡Guau! El número que resulta siempre es múltiplo de 9.

—¿Y eso para qué me sirve? —contesté.

—Ah eso sí no sé.

Matías se hizo el truco a sí mismo muchas, muchas veces hasta que un día me dijo:

—Ya sé, sólo debo encontrar el múltiplo superior más cercano a la suma de las cifras que no taché.

—¡¿Quéééé!?— dije.

—Nada, olvídalo, quiero ir a ver a la abuela para decirle que ya entendí cómo hacer el truco y por qué funciona.