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Por qué funciona el truco de cartas: posición 11 y múltiplos de 9

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Respuesta rápida

La carta elegida siempre queda en la posición 11 del mazo. El truco numérico da siempre un múltiplo de 9.

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Solución — Página 115

Colección Sk´asolil. Múltiples lenguajes. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Explicación del truco de las 21 cartas

El truco consiste en repartir 21 cartas en 3 columnas de 7, pedir que se elija una carta y se indique en qué columna está, recoger las columnas dejando la elegida en medio, repetir el reparto y la recogida dos veces más. Al final, la carta elegida queda en la posición 11 del mazo.

Paso 1: Primera recogida

Al recoger las columnas por primera vez, la carta elegida está en la segunda columna (la del medio). Como cada columna tiene 7 cartas, la carta elegida ocupa una posición entre la 8 y la 14 del mazo:

$8 \le \text{posición} \le 14$

Paso 2: Segundo reparto

Al repartir horizontalmente, las cartas de la segunda columna (posiciones 8 a 14) se distribuyen en las posiciones 3, 4 o 5 de alguna columna. Esto se debe a que 7 cartas se reparten cíclicamente en 3 columnas:

$8 \equiv 2 \pmod{3}, \quad 9 \equiv 0 \pmod{3}, \quad 10 \equiv 1 \pmod{3}, \quad 11 \equiv 2 \pmod{3}, \quad 12 \equiv 0 \pmod{3}, \quad 13 \equiv 1 \pmod{3}, \quad 14 \equiv 2 \pmod{3}$

Las posiciones dentro de la columna son 3, 4 o 5.

Paso 3: Segunda recogida

Al recoger por segunda vez, habrá 7 cartas antes de la columna del medio. La carta elegida estará en las posiciones:

$10 = 7 + 3, \quad 11 = 7 + 4, \quad 12 = 7 + 5$

Paso 4: Tercer reparto

Al formar de nuevo las columnas horizontalmente, las cartas de las posiciones 10, 11 o 12 se encuentran en la mitad de cada columna, es decir, en el renglón 4.

Paso 5: Tercera recogida

Al recoger de nuevo la columna indicada en segundo lugar, la carta elegida queda en el lugar 11 del mazo.

Respuesta: La carta elegida siempre termina en la posición 11 porque en cada reparto y recogida se reduce el intervalo de posiciones posibles hasta fijarlo en 11.

Truco numérico de la abuela

El texto final describe otro truco: escribir un número de varias cifras, sumar sus dígitos y restar esa suma al número original. El resultado siempre es un múltiplo de 9.

Ejemplo

Sea $N = 472$ .

Suma de dígitos: $4 + 7 + 2 = 13$ .
Resta: $472 - 13 = 459$ .
Verificación: $459 = 9 \times 51$ .

Respuesta: El resultado es siempre múltiplo de 9 porque todo número es congruente con la suma de sus dígitos módulo 9:

$N \equiv S(N) \pmod{9} \implies N - S(N) \equiv 0 \pmod{9}$

Contenido de la página

Por qué funciona:

Las cartas siempre se reacomodan de la misma manera.
Al recoger las columnas por primera vez, la carta elegida está en la segunda columna, luego está dentro de las posiciones 8 a la 14 en el mazo de 21 cartas.
Al repartir la primera vez de manera horizontal, las cartas de la segunda columna están en la 3ª, 4ª o 5ª posición dentro de alguna columna.
Al recoger por segunda vez las cartas, habrá 7 cartas antes de la columna de en medio, entonces la carta elegida estará siempre dentro de las posiciones $10 = 7 + 3$ , $11 = 7 + 4$ o $12 = 7 + 5$ del mazo.
Al formar de nuevo las columnas de manera horizontal, las cartas de las posiciones 10, 11 o 12 se encontrarán en la mitad de cada columna, es decir, en el renglón 4.
Al recoger de nuevo la columna indicada en segundo lugar, la carta elegida quedó en el lugar 11 del mazo.

—Repetí y repetí el truco, al tiempo que leía el papelito. Creo que al menos fueron 20 veces las que lo hice usando distintas estrategias para entenderlo: ponía boca abajo todas las cartas excepto la que elegía, le pegué un papelito por atrás a la carta elegida para poder ver cómo se "movía" dentro del mazo cada vez que repartía y recogía cartas, le pedí a Matías más de una vez que me ayudara, hasta que al fin entendí cómo hacerlo y por qué funcionaba. Desde entonces, aprendí muchos otros trucos de cartas y creo que ahora, cuando los hago, mis dedos bailan como los de la abuela.

—Ah, pero no crean que olvidé el truco que la abuela le explicó a Matías. Sólo que a él le dio el papelito antes de los 15 años, porque ya estaba enferma.

—Matías, toma ese papel y la pluma. Escribe un número de varias cifras, suma sus dígitos y réstaselos al número que escribiste.

—Espera abuela, debo hacer muchas cuentas.

—Listo, ya terminé.

Ejemplos resueltos

Verifica que al restar la suma de los dígitos de 472 al número 472 se obtiene un múltiplo de 9.

Suma de dígitos: $4 + 7 + 2 = 13$ . Resta: $472 - 13 = 459$ . División: $459 \div 9 = 51$ , luego $459 = 9 \times 51$ .

Tabla

Etapa	Posición de la carta
Primera recogida	8 a 14
Segundo reparto	3, 4 o 5 en alguna columna
Segunda recogida	10, 11 o 12
Tercer reparto	Renglón 4
Tercera recogida	11

Diagrama

flowchart TD
    A[21 cartas en 3 columnas de 7] --> B[Elegir carta y decir columna]
    B --> C[Recoger dejando columna elegida en medio]
    C --> D[Repartir horizontalmente]
    D --> E[Recoger de nuevo]
    E --> F[Repartir y recoger tercera vez]
    F --> G[Carta en posición 11]

Fórmulas y ecuaciones

10 = 7 + 3, $\quad$ 11 = 7 + 4, $\quad$ 12 = 7 + 5

N $\equiv$ S(N) $\pmod{9}$

8 $\le$ $\text{posición}$ $\le$ 14

10 = 7 + 3

11 = 7 + 4

12 = 7 + 5

N $\equiv$ S(N) $\pmod{9}$

N - S(N) $\equiv$ 0 $\pmod{9}$

Glosario (5)

Mazo: Conjunto de cartas de una baraja.
Columna: Grupo vertical de cartas en el reparto.
Múltiplo: Número que resulta de multiplicar otro por un entero.
Dígito: Cada uno de los símbolos que forman un número.
Congruencia: Relación entre números que tienen el mismo resto al dividir por un módulo.

Preguntas para practicar

¿Por qué el truco de las 21 cartas siempre funciona?

Porque en cada reparto y recogida la posición de la carta elegida se restringe a un conjunto cada vez más pequeño: primero 8-14, luego 10-12 y finalmente 11. El reacomodo sistemático garantiza que siempre termine en la posición 11.

¿Qué relación tiene el truco numérico de la abuela con los múltiplos de 9?

Al restar la suma de los dígitos a un número, el resultado siempre es múltiplo de 9 porque todo número es congruente con la suma de sus dígitos módulo 9. Esta propiedad es la base de la regla de divisibilidad del 9.

Temas y conceptos clave

Truco de cartas con 21 naipesPosición 11 en el mazoTruco numérico de la abuelaMúltiplos de 9Reacomodo de cartasPosición en el mazoCongruencia módulo 9Suma de dígitosMúltiplo de 9

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Preguntas que la gente también hace

¿Por qué la carta elegida siempre queda en la posición 11 en el truco de las 21 cartas?

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¿Por qué al restar la suma de los dígitos de un número siempre se obtiene un múltiplo de 9?

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¿Cómo se puede demostrar matemáticamente que un número es congruente con la suma de sus dígitos módulo 9?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones básicas de suma y resta
• Noción de múltiplo y divisor
• Concepto de congruencia módulo 9

Siguiente tema sugerido

Demostración formal de la regla de divisibilidad del 9

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1010 caracteres

$4^{\circ}\circ5^{\circ}$

$10=7+3 ,$

$11=7+4\circ12=7+5$

—Repetí y repetí el truco, al tiempo que leía el papelito. Creo que al menos fueron 20 veces las que lo hice usando distintas estrategias para entenderlo:ponia boca abajo todas las cartas excepto la que elegía,le pegué un papelito por atrás a la carta elegida para poder ver cómo se"movía" dentro del mazo cada vez que repartía y recogía cartas, le pedí a Matías más de una vez que me ayudara, hasta que al fin entendí cómo hacerlo y por qué funcionaba. Desde entonces, aprendímuchos otros trucos de cartas y creo que ahora, cuando los hago, mis dedos bailan como los de la abuela.

—Ah, pero no crean que olvidé el truco que la abuela le explicó a Matías. Sólo que a él le dio el papelito antes de los 15 anos, porque ya estaba enferma.

—Matías, toma ese papel y la pluma. Escribe un número de varias cifras, suma sus digitos y réstaselos al número que escribiste.

—Espera abuela, debo hacer muchas cuentas.

—Listo, ya terminé.

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