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Tercera ley de Kepler: período y distancia media al Sol

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Tercera ley de Kepler: $T^{2} = k \cdot r^{3}$ . El cuadrado del período orbital es proporcional al cubo de la distancia media al Sol. La velocidad orbital es mayor cerca del Sol (perihelio) y menor lejos (afelio).

📚 theory fisica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 167

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Tercera ley de Kepler

Enunciado: El cuadrado del período de un planeta ( $T^{2}$ ) es directamente proporcional al cubo de su distancia media al Sol ( $r^{3}$ ).

La expresión matemática de la ley es:

$T^{2} = k \cdot r^{3}$

Donde $T$ es el período orbital (tiempo en completar una órbita), $r$ es la distancia media al Sol (semieje mayor de la órbita) y $k$ es la constante de proporcionalidad que depende de la masa del Sol.
La ley se deduce al comparar los períodos y distancias de los planetas: si $T^{2}/r^{3}$ es constante para todos los planetas, entonces la relación se cumple.

Respuesta

La tercera ley de Kepler se expresa como $T^{2} = k \cdot r^{3}$ , donde $T$ es el período orbital, $r$ la distancia media al Sol y $k$ una constante que depende de la masa del Sol.

Ejercicio 1

En la imagen se observa que el planeta tarda el mismo tiempo en pasar de $P_{1}$ a $P_{2}$ que de $P_{3}$ a $P_{4}$ . La velocidad es mayor en el tramo $P_{1}$ a $P_{2}$ que en el tramo $P_{3}$ a $P_{4}$ .

Esto se debe a la segunda ley de Kepler: el radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
Cuando el planeta está más cerca del Sol (perihelio, tramo $P_{1}$ - $P_{2}$ ), el área barrida es la misma que cuando está más lejos (afelio, tramo $P_{3}$ - $P_{4}$ ), pero como la base del triángulo es menor, la velocidad debe ser mayor.
Por lo tanto, la velocidad orbital no es constante; es mayor cerca del Sol y menor lejos de él.

Respuesta

La velocidad es mayor en el tramo $P_{1}$ - $P_{2}$ porque el planeta está más cerca del Sol y debe recorrer una distancia mayor en el mismo tiempo para barrer la misma área.

Ejercicio 2

Explica con tus palabras la tercera ley de Kepler.

La tercera ley relaciona el tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa al Sol (período, $T$ ) con su distancia media al Sol ( $r$ ).
Cuanto más lejos está un planeta del Sol, más tiempo tarda en completar su órbita, y esta relación no es lineal sino que sigue una proporción cuártica: $T^{2} \propto r^{3}$ .
Por ejemplo, si un planeta está 4 veces más lejos que otro, su período será $\sqrt{4^{3}} = \sqrt{64} = 8$ veces mayor.

Respuesta

La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del período orbital de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol. Esto significa que los planetas más alejados tienen períodos orbitales mucho más largos.

Ejercicio 3

¿Qué importancia tuvieron los estudios de Tycho Brahe para Kepler?

Tycho Brahe realizó observaciones astronómicas muy precisas de las posiciones de los planetas, especialmente de Marte.
Kepler utilizó esos datos para deducir sus tres leyes sobre el movimiento planetario.
Sin los datos de Brahe, Kepler no habría podido formular sus leyes ni sustentar el modelo heliocéntrico.

Respuesta

Los estudios de Tycho Brahe proporcionaron a Kepler los datos observacionales precisos que necesitaba para formular sus leyes sobre el movimiento de los planetas.

Contenido de la página

En la siguiente imagen se observa cómo el planeta tarda el mismo tiempo en pasar de $P_{1}$ a $P_{2}$ que de $P_{3}$ a $P_{4}$ . La velocidad es mayor en el tramo $P_{1}$ a $P_{2}$ que en el tramo $P_{3}$ a $P_{4}$ .

Después de retomar los trabajos de Tycho Brahe, Kepler enunció su tercera ley, que guarda relación con el movimiento de los planetas.

Tercera ley. El cuadrado del período de un planeta ( $T^{2}$ ), es decir, el tiempo que tarda en completar una órbita, es directamente proporcional al cubo de su distancia media al Sol ( $r^{3}$ ).

En términos matemáticos, esta ley se puede escribir así:

$T^{2} = k \cdot r^{3}$

Donde:

$T =$ Período del planeta alrededor del Sol
$k =$ Constante de proporcionalidad que depende de la masa del Sol
$r =$ Distancia promedio del planeta al Sol, es decir, la longitud del semieje mayor de su órbita

Los estudios de Tycho Brahe, sin duda, fueron muy importantes para Kepler. También lo fue la influencia del modelo propuesto por Copérnico. Con sus leyes, Kepler pudo hacer los cálculos necesarios para sustentar su investigación y publicar otros estudios, como las tablas astronómicas. Su trabajo contribuyó a la aceptación del modelo heliocéntrico.

Diagrama

graph TD
    A[Sol] --> B[Planeta]
    B --> C[Órbita elíptica]
    C --> D[Período orbital T]
    C --> E[Distancia media r]
    D --> F[T² = k · r³]
    E --> F

Fórmulas y ecuaciones

$T^{2}$ = k $\cdot$ $r^{3}$

Glosario (4)

Período orbital: Tiempo que tarda un planeta en completar una órbita alrededor del Sol.
Distancia media al Sol: Longitud del semieje mayor de la órbita elíptica de un planeta.
Constante de proporcionalidad: Factor que relaciona el período y la distancia en la tercera ley de Kepler; depende de la masa del Sol.
Modelo heliocéntrico: Modelo astronómico que sitúa al Sol en el centro del sistema solar.

Preguntas para practicar

¿Qué importancia tuvieron los estudios de Tycho Brahe para Kepler?

Los estudios de Tycho Brahe proporcionaron a Kepler los datos observacionales precisos que necesitaba para formular sus leyes sobre el movimiento de los planetas.

Temas y conceptos clave

Tercera ley de KeplerMovimiento planetarioPeríodo orbitalDistancia media al SolTercera ley de KeplerPeríodo orbitalConstante de proporcionalidadSemieje mayorModelo heliocéntrico

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Figuras de la página (2)

Diagrama de una órbita elíptica con el Sol en uno de los focos. Se muestran los puntos P1, P2, P3, P4 y las áreas barridas F1 y F2. — Figura 1 image

Retrato de Tycho Brahe. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué establece la tercera ley de Kepler?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se calcula el período orbital de un planeta?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la diferencia entre la segunda y tercera ley de Kepler?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Concepto de órbita elíptica
• Nociones básicas de proporcionalidad
• Sistema solar

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Ley de gravitación universal de Newton

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1439 caracteres

En la siguiente imagen se observa cómo el planeta tarda el mismo tiempo en pasar de $P_{1}\textrm{a}P_{2}$ que de $P_{3}\;a\;P_{4}$ .La velocidad es mayor en el tramo $P_{1}\textrm{a}P_{2}$ que en el tramo $P_{3}\mathrm{~a~}P_{4}$

$P_{4}$

$F_{1}$

$F_{2}$

$P_{3}$

Después de retomar los trabajos de Tycho Brahe, Kepler enunció su tercera ley, que guarda relación con el movimiento de los planetas.

(cd Tercera ley. El cuadrado del periodo de un planeta (T2), es decir, el tiempo que tarda en completar una órbita, es directamente proporcional al cubo de su distancia media al Sol $(r^{3})$ ).

En términos matemáticos, esta ley se puede escribir así:

$T^{2}=k\cdot r^{3}$

Donde:

$T=$ Periodo del planeta alrededor del Sol

$k=$ Constante de proporcionalidad que depende de la masa del Sol

$r=\Gamma$ )istancia promedio del planeta al Sol,es decir, la longitud del semieje mayor de su órbita

Los estudios de Tycho Brahe, sin duda, fueron muyimportantes para Kepler. También lo fue la influencia del modelo propuesto por Copérnico.Con sus leyes, Kepler pudo hacer los cálculos necesarios para sustentar su investigación y publicar otros estudios, como las tablas astronómicas. Su trabajo contribuyó a la aceptación del modelo heliocéntrico.

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Tycho Brahe

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