Enunciado: Se muestra una figura con forma de casita (un rectángulo con un triángulo encima). Dos estudiantes discuten: uno sostiene que la figura puede construirse únicamente con triángulos; el otro afirma que eso es imposible porque la base de la casita es un rectángulo. Hay que dibujar la figura para mostrar que el primero tiene razón.
Comprender qué es la casita
La casita es un pentágono: está formada por un rectángulo ABCD (con AB y CD las bases verticales, BC la base inferior) y un triángulo BCT que se apoya sobre el lado superior del rectángulo, con vértice T en la parte alta.
Un rectángulo no es "incompatible" con los triángulos: por definición, un rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos miden 90^{\circ}, y todo paralelogramo puede dividirse en dos triángulos congruentes mediante una diagonal.
Primer dibujo: dividir el rectángulo con una diagonal
Trazamos la diagonal BD del rectángulo ABCD. Esta diagonal divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos: \triangle BCD y \triangle ADB.
El triángulo superior BCT ya es un triángulo.
Entonces la casita queda expresada como la unión de tres triángulos:
\text{Casita} = \triangle BCD \cup \triangle ADB \cup \triangle BCT
- Verificación por áreas: si el rectángulo tiene base b y altura h, y el triángulo del techo tiene base b y altura t, entonces
A_{\text{casita}} = b\cdot h + \frac{b\cdot t}{2}
y la suma de las tres piezas es
A_{\triangle BCD} + A_{\triangle ADB} + A_{\triangle BCT} = \frac{b\cdot h}{2} + \frac{b\cdot h}{2} + \frac{b\cdot t}{2} = b\cdot h + \frac{b\cdot t}{2}
Los valores coinciden: no se pierde ni se sobra superficie.
Segundo dibujo: partir la casita desde el vértice superior
Partimos desde el vértice T del techo y trazamos los segmentos TA y TB, que llegan a las esquinas inferiores del rectángulo.
Así se obtienen tres triángulos: \triangle ABT (el triángulo grande que ocupa casi toda la figura), \triangle BCT (el techo) y \triangle ACT... más precisamente: \triangle TAB y \triangle TCD, junto con el techo \triangle TBC, cubren toda la figura sin dejar huecos ni superponerse.
Dibujo esquemático (líneas punteadas = cortes):
T
/|\
/ | \
/ | \
A---+---D línea punteada AD = corte del techo
|\ | /|
| \ | / | línea punteada BD = diagonal del rectángulo
| \|/ |
B---------C
Ramón tiene razón: la casita sí puede formarse solo con triángulos; basta trazar una diagonal en la parte rectangular (o partir desde el vértice superior) para descomponerla en 3 triángulos, cuya área total coincide con la de la figura original.
